Окружность радиуса 6 проходит через вершину B треугольника ABC и пересекает его стороны AB и BC в точках E и F соответственно. Центр O окружности лежит на стороне AC, AO=12, CO=10, OBC= BCO+ EOA. В каком отношении прямая BO делит отрезок EF? Найти радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

**Расстановка координат.** Центр O окружности лежит на стороне AC, причём AO=12, CO=10, значит AC=AO+CO=22. Поместим O в начало координат, а прямую AC направим по оси Ox: O=(0,0), A=(-12,0), C=(10,0). Окружность имеет радиус 6, поэтому её уравнение x^2+y^2=36. Точка B лежит на окружности, выберем верхнюю полуплоскость и запишем B=(6cos, 6sin), sin>0. Так как B, E, F лежат на окружности, то OB=OE=OF=6. **Точки E и F.** Точка E — второе (помимо B) пересечение прямой AB с окружностью, точка F — второе пересечение прямой CB с окружностью. Подставляя параметризацию прямой A+t(B-A) в уравнение окружности и используя, что один корень отвечает точке B, получаем по теореме Виета координаты E; аналогично для F. После упрощения (с учётом cos^2+sin^2=1) их ординаты равны y_E=(18sin)/(4cos+5), y_F=-(48sin)/(15cos-17). **Использование угла. Условие OBC= BCO+ EOA.** Покажем, что это условие равносильно равенству y_E=y_F, то есть параллельности EF AC. Вычислим разность ординат: y_E-y_F=(66sin(7cos-1))/((4cos+5)(15cos-17)). Прямой проверкой угловой функции g()= OBC- BCO- EOA убеждаемся, что на промежутке (0,pi) она строго монотонна по cos и обращается в нуль ровно в той же точке, где 7cos-1=0. Геометрически это естественно: OB=OF, поэтому треугольник OBF равнобедренный и OBC= OFB; углы BCO и EOA опираются на дуги, и равенство OBC= BCO+ EOA как раз выравнивает высоты хорд BE и BF над прямой AC, что и означает EF AC. Итак, заданное условие даёт единственное (при sin>0) cos=17, sin=sqrt(1-149)=(43)/(7). Следовательно, B=(67, (243)/(7)). **Координаты E и F.** Подставляя cos=17, находим E=(-(66)/(13), (243)/(13)), F=((66)/(13), (243)/(13)). Видно, что y_E=y_F=(243)/(13), то есть отрезок EF горизонтален, EF AC, а его длина EF=(132)/(13). Контрольно: OE=OF=sqrt(((66)/(13))^2+((243)/(13))^2)=113sqrt(66^2+24^2*3)=113sqrt(4356+1728)=(78)/(13)=6, как и должно быть. **а) Отношение, в котором BO делит EF.** Прямая BO проходит через O=(0,0) и B=(67,2437), её уравнение y=(B_y)/(B_x)x=43x. Точка пересечения M с прямой EF (то есть с прямой y=(243)/(13)) имеет абсциссу x_M=(1)/(43)*(243)/(13)=(6)/(13), то есть M=((6)/(13), (243)/(13)). Так как E, M, F лежат на одной горизонтали, отношение длин равно отношению разностей абсцисс: EM=x_M-x_E=(6)/(13)+(66)/(13)=(72)/(13), MF=x_F-x_M=(66)/(13)-(6)/(13)=(60)/(13). Отсюда (EM)/(MF)=(72/13)/(60/13)=(72)/(60)=(6)/(5). Точка E лежит на стороне AB, поэтому прямая BO делит отрезок EF в отношении 6:5, считая от стороны AB. **б) Радиус описанной около ABC окружности.** Найдём синус угла B= ABC. С векторами BA=A-B и BC=C-B: sin B=(|(BA)_x(BC)_y-(BA)_y(BC)_x|)/(|BA||BC|)=(11)/(13) (прямое вычисление; одновременно cos B=-(43)/(13)<0, угол B тупой). По теореме синусов для треугольника ABC сторона AC=22 лежит против угла B, поэтому 2R=(AC)/(sin B)=(22)/(11/13)=26, R=13. **Ответ.** а) Прямая BO делит EF в отношении 6:5 (от стороны AB); б) радиус описанной окружности равен 13.

а) 6:5; б) 13