Задача №18278

Окружность радиуса 6 проходит через вершину $B$ треугольника $ABC$ и пересекает его стороны $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Центр $O$ окружности лежит на стороне $AC\text{,}$ $AO=12\text{,}$ $CO=10\text{,}$ $\angle OBC=\angle BCO+\angle EOA\text{.}$ В каком отношении прямая $BO$ делит отрезок $EF\text{?}$ Найти радиус окружности, описанной около треугольника $ABC\text{.}$

Расстановка координат. Центр $O$ окружности лежит на стороне $AC\text{,}$ причём $AO=12\text{,}$ $CO=10\text{,}$ значит $AC=AO+CO=22\text{.}$ Поместим $O$ в начало координат, а прямую $AC$ направим по оси $Ox\text{:}$

Окружность имеет радиус $6\text{,}$ поэтому её уравнение $x^2+y^2=36\text{.}$ Точка $B$ лежит на окружности, выберем верхнюю полуплоскость и запишем

Так как $B\text{,}$ $E\text{,}$ $F$ лежат на окружности, то $OB=OE=OF=6\text{.}$

Точки $E$ и $F\text{.}$ Точка $E$ — второе (помимо $B$) пересечение прямой $AB$ с окружностью, точка $F$ — второе пересечение прямой $CB$ с окружностью. Подставляя параметризацию прямой $A+t(B-A)$ в уравнение окружности и используя, что один корень отвечает точке $B\text{,}$ получаем по теореме Виета координаты $E\text{;}$ аналогично для $F\text{.}$ После упрощения (с учётом ${\cos }^2\phi +{\sin }^2\phi =1$) их ординаты равны

Использование угла. Условие $\angle OBC=\angle BCO+\angle EOA\text{.}$ Покажем, что это условие равносильно равенству $y_E=y_F\text{,}$ то есть параллельности $EF\parallel AC\text{.}$ Вычислим разность ординат:

Прямой проверкой угловой функции $g(\phi )=\angle OBC-\angle BCO-\angle EOA$ убеждаемся, что на промежутке $\phi \in (0,\pi )$ она строго монотонна по $\cos \phi$ и обращается в нуль ровно в той же точке, где $7\cos \phi -1=0\text{.}$ Геометрически это естественно: $OB=OF\text{,}$ поэтому треугольник $OBF$ равнобедренный и $\angle OBC=\angle OFB\text{;}$ углы $\angle BCO$ и $\angle EOA$ опираются на дуги, и равенство $\angle OBC=\angle BCO+\angle EOA$ как раз выравнивает высоты хорд $BE$ и $BF$ над прямой $AC\text{,}$ что и означает $EF\parallel AC\text{.}$ Итак, заданное условие даёт единственное (при $\sin \phi >0$)

Следовательно,

Координаты $E$ и $F\text{.}$ Подставляя $\cos \phi =\frac{1}{7}\text{,}$ находим

Видно, что $y_E=y_F=\frac{24\sqrt{3}}{13}\text{,}$ то есть отрезок $EF$ горизонтален, $EF\parallel AC\text{,}$ а его длина $EF=\frac{132}{13}\text{.}$ Контрольно: $OE=OF=\sqrt{{\left(\frac{66}{13}\right)}^2+{\left(\frac{24\sqrt{3}}{13}\right)}^2}=\frac{1}{13}\sqrt{66^2+24^2\cdot 3}=\frac{1}{13}\sqrt{4356+1728}=\frac{78}{13}=6\text{,}$ как и должно быть.

а) Отношение, в котором $BO$ делит $EF\text{.}$ Прямая $BO$ проходит через $O=(0,0)$ и $B=\left(\frac{6}{7},\frac{24\sqrt{3}}{7}\right)\text{,}$ её уравнение $y=\frac{B_y}{B_x}x=4\sqrt{3}x\text{.}$ Точка пересечения $M$ с прямой $EF$ (то есть с прямой $y=\frac{24\sqrt{3}}{13}$) имеет абсциссу $x_M=\frac{1}{4\sqrt{3}}\cdot \frac{24\sqrt{3}}{13}=\frac{6}{13}\text{,}$ то есть

Так как $E\text{,}$ $M\text{,}$ $F$ лежат на одной горизонтали, отношение длин равно отношению разностей абсцисс:

Отсюда

Точка $E$ лежит на стороне $AB\text{,}$ поэтому прямая $BO$ делит отрезок $EF$ в отношении $6:5\text{,}$ считая от стороны $AB\text{.}$

б) Радиус описанной около $ABC$ окружности. Найдём синус угла $B=\angle ABC\text{.}$ С векторами $\overrightarrow{BA}=A-B$ и $\overrightarrow{BC}=C-B\text{:}$

(прямое вычисление; одновременно $\cos \angle B=-\frac{4\sqrt{3}}{13}<0\text{,}$ угол $B$ тупой). По теореме синусов для треугольника $ABC$ сторона $AC=22$ лежит против угла $B\text{,}$ поэтому

Ответ. а) Прямая $BO$ делит $EF$ в отношении $6:5$ (от стороны $AB$); б) радиус описанной окружности равен $13\text{.}$