Игорь решал тригонометрическое уравнение и получил ответ (-1)^n(pi)/(6)+pi n, (4pi)/(3)+-(pi)/(6)+2pi k, n,kinZ. Ответ в конце учебника выглядел иначе: -(5pi)/(6)+2pi n, (pi)/(6)+(2pi)/(3)k, n,kinZ. Правильный ли ответ получил Игорь? Привести пример тригонометрического уравнения с ответом как в учебнике.

Две записи ответа задают **одно и то же множество чисел тогда и только тогда, когда они содержат ровно одни и те же точки на тригонометрической окружности**. Поэтому удобно привести обе записи к перечислению точек по модулю 2pi (то есть к набору значений на одном обороте [0;2pi), повторяющихся с периодом 2pi) и сравнить полученные наборы. **Разбор ответа Игоря.** Первая серия (-1)^n(pi)/(6)+pi n — это стандартная запись решений уравнения sin x=12. При чётном n=2m получаем (pi)/(6)+2pi m, а при нечётном n=2m+1 — значение -(pi)/(6)+pi+2pi m=(5pi)/(6)+2pi m. Значит, первая серия даёт по модулю 2pi две точки: (pi)/(6) и (5pi)/(6). Вторая серия (4pi)/(3)+-(pi)/(6)+2pi k распадается на два набора: (4pi)/(3)-(pi)/(6)=(8pi-pi)/(6)=(7pi)/(6), (4pi)/(3)+(pi)/(6)=(8pi+pi)/(6)=(9pi)/(6)=(3pi)/(2). То есть вторая серия даёт по модулю 2pi ещё две точки: (7pi)/(6) и (3pi)/(2). Итого ответ Игоря — это множество (pi)/(6), (5pi)/(6), (7pi)/(6), (3pi)/(2)+2piZ. **Разбор ответа учебника.** Первая серия -(5pi)/(6)+2pi n — это одна точка по модулю 2pi: добавляя один период, -(5pi)/(6)+2pi=(7pi)/(6), то есть учебная серия задаёт точку (7pi)/(6). Вторая серия (pi)/(6)+(2pi)/(3)k имеет шаг (2pi)/(3), поэтому на обороте [0;2pi) она даёт ровно три точки (так как 3*(2pi)/(3)=2pi): при k=0,1,2 получаем (pi)/(6), (pi)/(6)+(2pi)/(3)=(5pi)/(6), (pi)/(6)+(4pi)/(3)=(9pi)/(6)=(3pi)/(2), а дальше значения повторяются с периодом 2pi. Объединяя обе учебные серии, получаем множество (7pi)/(6)U(pi)/(6), (5pi)/(6), (3pi)/(2)=(pi)/(6), (5pi)/(6), (7pi)/(6), (3pi)/(2)+2piZ. **Вывод о правильности.** Наборы точек у Игоря и в учебнике совпали поточечно: (pi)/(6), (5pi)/(6), (7pi)/(6), (3pi)/(2)+2piZ. Лишних значений ни у Игоря, ни в учебнике нет, и ни одна точка не потеряна. Значит, **ответ Игоря верен** — обе записи задают одно и то же бесконечное множество чисел, отличаясь лишь формой группировки серий. **Построение примера уравнения с учебным ответом.** Нужно уравнение, множество корней которого — ровно (pi)/(6), (5pi)/(6), (7pi)/(6), (3pi)/(2)+2piZ. Возьмём произведение двух простых уравнений и разберём каждый множитель. Множитель sin 3x-1=0, то есть sin 3x=1, даёт 3x=(pi)/(2)+2pi m, откуда x=(pi)/(6)+(2pi)/(3)m, minZ, то есть на обороте — точки (pi)/(6), (5pi)/(6), (3pi)/(2). Это в точности вторая учебная серия. Множитель 2cos x+3=0, то есть cos x=-(3)/(2), даёт x=+-(5pi)/(6)+2pi k, kinZ, то есть точки (5pi)/(6) и (7pi)/(6); новой по сравнению с первым множителем здесь является нужная нам точка (7pi)/(6) (она же первая учебная серия), а (5pi)/(6) уже была. Произведение обращается в нуль тогда и только тогда, когда обращается в нуль хотя бы один множитель, причём оба множителя определены при всех x (никаких ограничений ОДЗ нет). Поэтому множество корней уравнения (sin 3x-1)(2cos x+3)=0 есть объединение (pi)/(6), (5pi)/(6), (3pi)/(2)U(5pi)/(6), (7pi)/(6)=(pi)/(6), (5pi)/(6), (7pi)/(6), (3pi)/(2)+2piZ — ровно учебный ответ. Это и есть искомый пример. **Ответ.** Да, ответ Игоря верен; пример уравнения с учебным ответом — (sin 3x-1)(2cos x+3)=0.

Да, ответ Игоря верен (обе записи задают одно и то же множество \(\{\tfrac{\pi}{6},\ \tfrac{5\pi}{6},\ \tfrac{7\pi}{6},\ \tfrac{3\pi}{2}\}+2\pi\mathbb{Z}\)). Пример уравнения с ответом как в учебнике: \((\sin 3x-1)(2\cos x+\sqrt{3})=0\).