Задача №18276

Игорь решал тригонометрическое уравнение и получил ответ

$$(-1{)}^n\frac{\pi }{6}+\pi n,\frac{4\pi }{3}\pm \frac{\pi }{6}+2\pi k,n,k\in \mathbb{Z}.$$

Ответ в конце учебника выглядел иначе:

$$-\frac{5\pi }{6}+2\pi n,\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi }{3}k,n,k\in \mathbb{Z}.$$

Правильный ли ответ получил Игорь? Привести пример тригонометрического уравнения с ответом как в учебнике.

Две записи ответа задают одно и то же множество чисел тогда и только тогда, когда они содержат ровно одни и те же точки на тригонометрической окружности. Поэтому удобно привести обе записи к перечислению точек по модулю $2\pi$ (то есть к набору значений на одном обороте $[0;2\pi )\text{,}$ повторяющихся с периодом $2\pi$) и сравнить полученные наборы.

Разбор ответа Игоря.

Первая серия $(-1{)}^n\frac{\pi }{6}+\pi n$ — это стандартная запись решений уравнения $\sin x=\frac{1}{2}\text{.}$ При чётном $n=2m$ получаем $\frac{\pi }{6}+2\pi m\text{,}$ а при нечётном $n=2m+1$ — значение $-\frac{\pi }{6}+\pi +2\pi m=\frac{5\pi }{6}+2\pi m\text{.}$ Значит, первая серия даёт по модулю $2\pi$ две точки:

$$\frac{\pi }{6}\text{и}\frac{5\pi }{6}.$$

Вторая серия $\frac{4\pi }{3}\pm \frac{\pi }{6}+2\pi k$ распадается на два набора:

$$\frac{4\pi }{3}-\frac{\pi }{6}=\frac{8\pi -\pi }{6}=\frac{7\pi }{6},\frac{4\pi }{3}+\frac{\pi }{6}=\frac{8\pi +\pi }{6}=\frac{9\pi }{6}=\frac{3\pi }{2}.$$

То есть вторая серия даёт по модулю $2\pi$ ещё две точки: $\frac{7\pi }{6}$ и $\frac{3\pi }{2}\text{.}$

Итого ответ Игоря — это множество

$$\left\{\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{7\pi }{6},\frac{3\pi }{2}\right\}+2\pi \mathbb{Z}.$$

Разбор ответа учебника.

Первая серия $-\frac{5\pi }{6}+2\pi n$ — это одна точка по модулю $2\pi \text{:}$ добавляя один период, $-\frac{5\pi }{6}+2\pi =\frac{7\pi }{6}\text{,}$ то есть учебная серия задаёт точку

$$\frac{7\pi }{6}.$$

Вторая серия $\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi }{3}k$ имеет шаг $\frac{2\pi }{3}\text{,}$ поэтому на обороте $[0;2\pi )$ она даёт ровно три точки (так как $3\cdot \frac{2\pi }{3}=2\pi$): при $k=0,1,2$ получаем

$$\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi }{3}=\frac{5\pi }{6},\frac{\pi }{6}+\frac{4\pi }{3}=\frac{9\pi }{6}=\frac{3\pi }{2},$$

а дальше значения повторяются с периодом $2\pi \text{.}$ Объединяя обе учебные серии, получаем множество

$$\left\{\frac{7\pi }{6}\right\}\cup \left\{\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{3\pi }{2}\right\}=\left\{\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{7\pi }{6},\frac{3\pi }{2}\right\}+2\pi \mathbb{Z}.$$

Вывод о правильности. Наборы точек у Игоря и в учебнике совпали поточечно:

$$\left\{\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{7\pi }{6},\frac{3\pi }{2}\right\}+2\pi \mathbb{Z}.$$

Лишних значений ни у Игоря, ни в учебнике нет, и ни одна точка не потеряна. Значит, ответ Игоря верен — обе записи задают одно и то же бесконечное множество чисел, отличаясь лишь формой группировки серий.

Построение примера уравнения с учебным ответом. Нужно уравнение, множество корней которого — ровно $\left\{\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{7\pi }{6},\frac{3\pi }{2}\right\}+2\pi \mathbb{Z}\text{.}$ Возьмём произведение двух простых уравнений и разберём каждый множитель.

Множитель $\sin 3x-1=0\text{,}$ то есть $\sin 3x=1\text{,}$ даёт $3x=\frac{\pi }{2}+2\pi m\text{,}$ откуда

$$x=\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi }{3}m,m\in \mathbb{Z},$$

то есть на обороте — точки $\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{3\pi }{2}\text{.}$ Это в точности вторая учебная серия.

Множитель $2\cos x+\sqrt{3}=0\text{,}$ то есть $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\text{,}$ даёт

$$x=\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z},$$

то есть точки $\frac{5\pi }{6}$ и $\frac{7\pi }{6}\text{;}$ новой по сравнению с первым множителем здесь является нужная нам точка $\frac{7\pi }{6}$ (она же первая учебная серия), а $\frac{5\pi }{6}$ уже была.

Произведение обращается в нуль тогда и только тогда, когда обращается в нуль хотя бы один множитель, причём оба множителя определены при всех $x$ (никаких ограничений ОДЗ нет). Поэтому множество корней уравнения

$$(\sin 3x-1)(2\cos x+\sqrt{3})=0$$

есть объединение $\left\{\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{3\pi }{2}\right\}\cup \left\{\frac{5\pi }{6},\frac{7\pi }{6}\right\}=\left\{\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{7\pi }{6},\frac{3\pi }{2}\right\}+2\pi \mathbb{Z}$ — ровно учебный ответ. Это и есть искомый пример.

Ответ. Да, ответ Игоря верен; пример уравнения с учебным ответом — $(\sin 3x-1)(2\cos x+\sqrt{3})=0\text{.}$