Задача №18275

Решить неравенство $||1-x^2|-|x^2-3x+2||⩾3|x-1|\text{.}$

Решаем неравенство

Шаг 1. Выносим общий множитель $|x-1|\text{.}$

Разложим квадратные трёхчлены под модулями на множители:

Так как $|ab|=|a||b|\text{,}$ получаем

Подставим это в разность под внешним модулем и вынесем неотрицательный множитель $|x-1|\text{:}$

Здесь использовано, что $|x-1|⩾0$ можно вынести за знак модуля без изменения знака. Неравенство принимает вид

то есть

Шаг 2. Случай $x=1\text{.}$

При $x=1$ множитель $|x-1|=0\text{,}$ и левая часть равна $0\text{,}$ а правая равна $0\text{.}$ Неравенство $0⩾0$ выполнено, значит $x=1$ — решение (это изолированная точка, поскольку, как мы увидим ниже, при близких к $1$ значениях $x$ неравенство нарушается).

Шаг 3. Случай $x\ne 1\text{.}$

Тогда $|x-1|>0\text{,}$ и на этот положительный множитель можно сократить, не меняя знака неравенства. Остаётся

Обозначим $g(x)=|x+1|-|x-2|$ и раскроем модули по точкам $x=-1$ и $x=2\text{.}$

| Промежуток | $g(x)=|x+1|-|x-2|$ |
|---|---|
| $x<-1$ | $-(x+1)+(x-2)=-3$ |
| $-1⩽x<2$ | $(x+1)+(x-2)=2x-1$ |
| $x⩾2$ | $(x+1)-(x-2)=3$ |

Функция $g$ непрерывна (в точках $x=-1$ и $x=2$ значения совпадают: $g(-1)=-3\text{,}$ $g(2)=3$). Решаем $|g(x)|⩾3$ на каждом куске.

• При $x<-1\text{:}$ $g(x)=-3\text{,}$ значит $|g(x)|=3⩾3$ — выполнено для всех таких $x\text{.}$
• При $-1⩽x<2\text{:}$ $g(x)=2x-1\text{,}$ нужно $|2x-1|⩾3\text{,}$ то есть $2x-1⩾3$ или $2x-1⩽-3\text{,}$ откуда $x⩾2$ или $x⩽-1\text{.}$ С учётом рассматриваемого промежутка $-1⩽x<2$ подходит только граничная точка $x=-1$ (значение $x=2$ в этот промежуток не входит). Внутренних решений на $(-1,2)$ нет — в частности, неравенство нарушается во всех точках вблизи $x=1\text{,}$ что и подтверждает изолированность точки $x=1\text{,}$ найденной в шаге 2.
• При $x⩾2\text{:}$ $g(x)=3\text{,}$ значит $|g(x)|=3⩾3$ — выполнено для всех таких $x\text{.}$

Объединяя, для $x\ne 1$ получаем $x⩽-1$ или $x⩾2\text{,}$ то есть $x\in (-\infty ;-1]\cup [2;+\infty )\text{.}$

Шаг 4. Объединение случаев.

Добавляя изолированную точку $x=1\text{,}$ окончательно

Ответ: $(-\infty ;-1]\cup \{1\}\cup [2;+\infty )\text{.}$