Решить неравенство ||1-x^2|-|x^2-3x+2|| 3|x-1|.

Решаем неравенство ||1-x^2|-|x^2-3x+2|| 3|x-1|. **Шаг 1. Выносим общий множитель |x-1|.** Разложим квадратные трёхчлены под модулями на множители: 1-x^2=-(x-1)(x+1), x^2-3x+2=(x-1)(x-2). Так как |ab|=|a||b|, получаем |1-x^2|=|x-1|*|x+1|, |x^2-3x+2|=|x-1|*|x-2|. Подставим это в разность под внешним модулем и вынесем неотрицательный множитель |x-1|: ||1-x^2|-|x^2-3x+2||=||x-1||x+1|-|x-1||x-2||=|x-1|*||x+1|-|x-2||. Здесь использовано, что |x-1| 0 можно вынести за знак модуля без изменения знака. Неравенство принимает вид |x-1|*||x+1|-|x-2|| 3|x-1|, то есть |x-1|*(||x+1|-|x-2||-3) 0. **Шаг 2. Случай x=1.** При x=1 множитель |x-1|=0, и левая часть равна 0, а правая равна 0. Неравенство 0 0 выполнено, значит x=1 — решение (это изолированная точка, поскольку, как мы увидим ниже, при близких к 1 значениях x неравенство нарушается). **Шаг 3. Случай x!= 1.** Тогда |x-1|>0, и на этот положительный множитель можно сократить, не меняя знака неравенства. Остаётся ||x+1|-|x-2|| 3. Обозначим g(x)=|x+1|-|x-2| и раскроем модули по точкам x=-1 и x=2. | Промежуток | g(x)=|x+1|-|x-2| | |---|---| | x<-1 | -(x+1)+(x-2)=-3 | | -1 x<2 | (x+1)+(x-2)=2x-1 | | x 2 | (x+1)-(x-2)=3 | Функция g непрерывна (в точках x=-1 и x=2 значения совпадают: g(-1)=-3, g(2)=3). Решаем |g(x)| 3 на каждом куске. - При x<-1: g(x)=-3, значит |g(x)|=3 3 — выполнено для **всех** таких x. - При -1 x<2: g(x)=2x-1, нужно |2x-1| 3, то есть 2x-1 3 или 2x-1 -3, откуда x 2 или x -1. С учётом рассматриваемого промежутка -1 x<2 подходит только граничная точка x=-1 (значение x=2 в этот промежуток не входит). Внутренних решений на (-1,2) нет — в частности, неравенство нарушается во всех точках вблизи x=1, что и подтверждает изолированность точки x=1, найденной в шаге 2. - При x 2: g(x)=3, значит |g(x)|=3 3 — выполнено для **всех** таких x. Объединяя, для x!= 1 получаем x -1 или x 2, то есть xin(-inf;-1]U[2;+inf). **Шаг 4. Объединение случаев.** Добавляя изолированную точку x=1, окончательно xin(-inf;-1]U1U[2;+inf). **Ответ:** (-inf;-1]U1U[2;+inf).

\((-\infty;-1]\cup\{1\}\cup[2;\infty)\)