Найти все значения параметра a, при каждом из которых все решения уравнения 6sin(2x-(11)/(12)pi a)+6sin((11)/(12)pi a)+3a^3-7a^2+3a+1=2(3a^2-4a-1)cos(x-(11)/(12)pi a)+6(a-1)sin x, будучи отложенными на тригонометрической окружности, образуют на ней ровно четыре точки, причём эти точки являются вершинами трапеции.

Обозначим для краткости b=(11)/(12)pi a. Перенесём всё в одну часть; уравнение принимает вид 6sin(2x-b)+6sin b+3a^3-7a^2+3a+1-2(3a^2-4a-1)cos(x-b)-6(a-1)sin x=0. **Факторизация.** Раскроем тригонометрию через sin x,cos x,sin b,cos b. Используя cos(x-b)=cos xcos b+sin xsin b, sin(2x-b)=sin xcos(x-b)+cos xsin(x-b), и заменяя cos^2 x=1-sin^2 x, левую часть удаётся свернуть в произведение (проверено тождественно): (a-1-2cos(x-b))(3a^2-4a-1-6sin x)=0. Действительно, как многочлен по a выражение равно 3a^3-a^2(6cos(x-b)+7)+a(8cos(x-b)-6sin x+3)+(12sin xcos(x-b)+6sin x+2cos(x-b)+1), а свободный член есть (6sin x+1)(2cos(x-b)+1); прямое перемножение указанных скобок даёт исходный многочлен. Итак, множество решений на окружности есть объединение решений двух уравнений: (I) cos(x-b)=(a-1)/(2), (II) sin x=(3a^2-4a-1)/(6). **Геометрия каждого набора.** Пусть c_1=(a-1)/(2), c_2=(3a^2-4a-1)/(6). Уравнение (I): при |c_1|<1 даёт две точки x=b+-, =arccos c_1in(0,pi); они симметричны относительно диаметра под углом b, поэтому стягивающая их хорда A перпендикулярна радиусу направления b. Сумма угловых координат концов хорды A равна 2b. При |c_1|=1 точка одна, при |c_1|>1 точек нет. Уравнение (II): при |c_2|<1 даёт две точки x= и x=pi-, =arcsin c_2in(-2,2); они симметричны относительно вертикального диаметра, то есть хорда B горизонтальна. Сумма координат концов хорды B равна pi. При |c_2|=1 точка одна. **Условие «ровно четыре точки».** Точек ровно четыре только если каждое из (I),(II) даёт по две точки и эти четвёрки различны. Имеем |c_1|<1 -1<a<3, |c_2|<1 -1<a<(7)/(3) (дискриминант 3a^2-4a+5 отрицателен, поэтому c_2>-1 всегда; равенство c_2=1 лишь при a=-1 и a=73). Значит необходимо -1<a<(7)/(3). На концах a=-1 и a=73 одна из четвёрок вырождается в одну точку, поэтому концы исключаются. **Условие трапеции.** Четыре точки окружности образуют трапецию, если ровно одна пара её противоположных сторон параллельна (параллелограмм, вписанный в окружность, был бы прямоугольником и трапецией не считается). Хорда с концами под углами u,v имеет серединный перпендикуляр направления (u+v)/(2); две хорды параллельны тогда и только тогда, когда суммы угловых координат их концов равны по модулю 2pi. Концы наших четырёх точек: b+, b- (набор A), , pi- (набор B). Разобьём четыре точки на пары-хорды тремя способами; в четырёхугольнике одна пара даёт диагонали, две другие — пары противоположных сторон. Возможные условия параллельности сторон: | пара хорд | условие параллельности | | --- | --- | | A B | 2b===pi+-od2pi | | (b+,)(b-,pi-) | +===2+-odpi | | (b+,pi-)(b-,) | -===2+-odpi | С учётом диапазонов (0,pi), (-2,2) внутренние ветки +-odpi недостижимы (суммы выходят за границы), и условия упрощаются. Случай +=2: так как arccos c_1=2-arcsin c_1, получаем arcsin c_2=arcsin c_1, то есть c_1=c_2: (a-1)/(2)=(3a^2-4a-1)/(6) 3a^2-7a+2=0 a=13 или a=2. Случай -=2: пользуясь arccos(-t)=2+arcsin t, приходим к arccos c_1=arccos(-c_2), то есть c_1=-c_2: (a-1)/(2)=-(3a^2-4a-1)/(6) 3a^2-a-4=0 a=-1 или a=43. Случай 2b===pi+-od2pi: 2*(11)/(12)pi a=pi+2pi k=> (11)/(6)a=1+2k=> a=(6+12k)/(11), kin Z. В полосу (-1,73) попадают a=-(6)/(11) (k=-1), a=(6)/(11) (k=0), a=(18)/(11) (k=1). **Отбор.** Все кандидаты лежат в (-1,73), кроме граничных. Отсеиваем непригодные: - a=2: здесь c_1=c_2=12, наборы A и B имеют общую точку, итого только три различные точки — не подходит. - a=-1: c_1=-1, c_2=1, каждое уравнение даёт по одной точке (всего две) — не подходит. Для остальных пяти значений непосредственная проверка даёт ровно четыре различные точки и ровно одну пару параллельных противоположных сторон (во всех случаях получается равнобедренная трапеция). Например, при a=43 корни исходного уравнения на окружности суть углы 139,59^, 189,59^, 300,41^, 350,41^, и пара сторон оказывается параллельной. **Ответ.** ain-(6)/(11), 13, (6)/(11), (4)/(3), (18)/(11). *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.

\(a\in\left\{-\dfrac{6}{11},\ \dfrac{1}{3},\ \dfrac{6}{11},\ \dfrac{4}{3},\ \dfrac{18}{11}\right\}\)