Задача №18211

Сумма первых четырнадцати членов арифметической прогрессии равна 77. Известно, что её первый и одиннадцатый члены — натуральные числа. Чему равен восемнадцатый член прогрессии?

Обозначим первый член прогрессии через $a_1=a\text{,}$ а разность через $d\text{.}$ Тогда $n$-й член равен $a_n=a+(n-1)d\text{,}$ а сумма первых $n$ членов

Условие на сумму. По условию сумма первых четырнадцати членов равна $77\text{:}$

откуда

Условия натуральности. Первый член $a_1=a$ и одиннадцатый член

являются натуральными числами. Обозначим $a_1=m$ и $a_{11}=k\text{,}$ где $m$ и $k$ — натуральные числа. Из $a_{11}=a+10d=k$ выразим $10d=k-m\text{,}$ то есть $d=\frac{k-m}{10}\text{.}$

Подставим $a=m$ и $13d=\frac{13(k-m)}{10}$ в равенство $(1)\text{,}$ предварительно умножив его на $10\text{:}$

Так как $20a=20m$ и $130d=13(k-m)\text{,}$ получаем

Решение в натуральных числах. Нужно найти натуральные $m,k\text{,}$ удовлетворяющие $(2)\text{.}$ Из $(2)$ видно, что $13k=110-7m>0\text{,}$ значит $m\le 15\text{;}$ кроме того, $7m=110-13k$ должно делиться на $7\text{.}$ Поскольку $110\equiv 5(\mathrm{mod}7)$ и $13\equiv 6\equiv -1(\mathrm{mod}7)\text{,}$ условие $7m=110-13k\equiv 0(\mathrm{mod}7)$ даёт

Натуральные значения $k=2,9,16,\dots \text{.}$ При $k=2$ получаем $7m=110-26=84\text{,}$ то есть $m=12$ (натуральное — подходит). При $k=9$ уже $7m=110-117<0$ — невозможно, и тем более при больших $k\text{.}$ Следовательно, решение единственно:

Нахождение прогрессии. Тогда

Проверим исходные условия: $a_1=12$ и $a_{11}=12+10\cdot (-1)=2$ — оба натуральные; сумма

что согласуется с условием.

Ответ на вопрос задачи. Восемнадцатый член прогрессии равен

Таким образом, $\boxed{a_{18}=-5}\text{.}$