Сумма первых четырнадцати членов арифметической прогрессии равна 77. Известно, что её первый и одиннадцатый члены — натуральные числа. Чему равен восемнадцатый член прогрессии?

Обозначим первый член прогрессии через a_1=a, а разность через d. Тогда n-й член равен a_n=a+(n-1)d, а сумма первых n членов S_n=(2a+(n-1)d)/(2)* n. **Условие на сумму.** По условию сумма первых четырнадцати членов равна 77: S_(14)=(2a+13d)/(2)* 14=7(2a+13d)=77, откуда 2a+13d=11. 1 **Условия натуральности.** Первый член a_1=a и одиннадцатый член a_(11)=a+10d являются натуральными числами. Обозначим a_1=m и a_(11)=k, где m и k — натуральные числа. Из a_(11)=a+10d=k выразим 10d=k-m, то есть d=(k-m)/(10). Подставим a=m и 13d=(13(k-m))/(10) в равенство (1), предварительно умножив его на 10: 20a+130d=110. Так как 20a=20m и 130d=13(k-m), получаем 20m+13(k-m)=110 7m+13k=110. 2 **Решение в натуральных числах.** Нужно найти натуральные m,k, удовлетворяющие (2). Из (2) видно, что 13k=110-7m>0, значит m<= 15; кроме того, 7m=110-13k должно делиться на 7. Поскольку 110=== 5+-od 7 и 13=== 6=== -1+-od 7, условие 7m=110-13k=== 0+-od 7 даёт 5+k=== 0+-od 7 k=== 2+-od 7. Натуральные значения k=2,9,16,. При k=2 получаем 7m=110-26=84, то есть m=12 (натуральное — подходит). При k=9 уже 7m=110-117<0 — невозможно, и тем более при больших k. Следовательно, решение единственно: m=a_1=12, k=a_(11)=2. **Нахождение прогрессии.** Тогда d=(k-m)/(10)=(2-12)/(10)=-1, a=12. Проверим исходные условия: a_1=12 и a_(11)=12+10*(-1)=2 — оба натуральные; сумма S_(14)=7(2* 12+13*(-1))=7(24-13)=7* 11=77, что согласуется с условием. **Ответ на вопрос задачи.** Восемнадцатый член прогрессии равен a_(18)=a+17d=12+17*(-1)=12-17=-5. Таким образом, a_(18)=-5.

\(-5\)