Задача №18210

Точка $O$ лежит на диагонали $AC$ выпуклого четырёхугольника $ABCD\text{.}$ Известно, что $OC=OD$ и что точка $O$ одинаково удалена от прямых $DA\text{,}$ $AB$ и $BC\text{.}$ Найти углы четырёхугольника, если $\angle AOB=110^{\circ }$ и $\angle COD=90^{\circ }\text{.}$

Обозначим углы четырёхугольника при вершинах $A,B,C,D$ и используем два следствия из условия равноудалённости точки $O\text{.}$

Шаг 1. Диагональ $AC$ — биссектриса угла $A\text{.}$

Прямые $DA$ и $AB$ пересекаются в вершине $A$ и образуют угол $DAB\text{.}$ Точка $O$ равноудалена от этих двух прямых, значит лежит на биссектрисе угла $DAB$ (внутренней, так как конфигурация выпуклая и $O$ внутри угла $A$). Но по условию $O$ лежит на диагонали $AC\text{.}$ Следовательно, луч $AC$ и есть биссектриса угла $A\text{,}$ то есть

Шаг 2. Отрезок $BO$ — биссектриса угла $B\text{.}$

Прямые $AB$ и $BC$ пересекаются в вершине $B\text{.}$ Точка $O$ равноудалена и от них, поэтому лежит на биссектрисе угла $ABC\text{;}$ этой биссектрисой служит луч $BO\text{,}$ и

Шаг 3. Связь $a$ и $b$ из треугольника $AOB\text{.}$

В треугольнике $AOB$ известно $\angle OAB=a\text{,}$ $\angle ABO=b\text{,}$ $\angle AOB=110^{\circ }\text{.}$ Сумма углов даёт

Поэтому $\angle ABC=2b=140^{\circ }-2a\text{.}$

Шаг 4. Сторона при $C$ и при $D\text{:}$ треугольники $BOC$ и $AOD\text{.}$

Точки $A,O,C$ лежат на одной прямой, поэтому смежные с $\angle AOB$ и $\angle AOD$ углы дают

В треугольнике $BOC\text{:}$ $\angle OBC=70^{\circ }-a\text{,}$ $\angle BOC=70^{\circ }\text{,}$ откуда

В треугольнике $AOD\text{:}$ $\angle OAD=a$ (так как $AC$ — биссектриса угла $A$) и $\angle AOD=90^{\circ }\text{,}$ откуда

Шаг 5. Треугольник $OCD$ — равнобедренный прямоугольный.

По условию $OC=OD$ и $\angle COD=90^{\circ }\text{,}$ значит треугольник $OCD$ прямоугольный и равнобедренный, его углы при основании равны:

Шаг 6. Замыкающее уравнение на $a\text{.}$

Найдём длины $OC$ и $OD\text{,}$ приняв $AO=1\text{.}$

В прямоугольном (при вершине $O$) треугольнике $AOD\text{:}$ $OD=AO\cdot \tan a=\tan a\text{.}$

В треугольнике $AOB$ по теореме синусов $BO=\frac{AO\sin a}{\sin (70^{\circ }-a)}=\frac{\sin a}{\sin (70^{\circ }-a)}\text{;}$ затем в треугольнике $BOC$ по теореме синусов

Равенство $OC=OD$ даёт

Так как $40^{\circ }+a$ и $90^{\circ }-a$ — острые при искомом $a\text{,}$ отсюда

Шаг 7. Углы четырёхугольника.

Подставляя $a=25^{\circ }\text{:}$

Контроль суммы: $50^{\circ }+90^{\circ }+110^{\circ }+110^{\circ }=360^{\circ }\text{.}$

Ответ: углы четырёхугольника равны