Точка O лежит на диагонали AC выпуклого четырёхугольника ABCD. Известно, что OC=OD и что точка O одинаково удалена от прямых DA, AB и BC. Найти углы четырёхугольника, если AOB=110^ и COD=90^.

Обозначим углы четырёхугольника при вершинах A,B,C,D и используем два следствия из условия равноудалённости точки O. **Шаг 1. Диагональ AC — биссектриса угла A.** Прямые DA и AB пересекаются в вершине A и образуют угол DAB. Точка O равноудалена от этих двух прямых, значит лежит на биссектрисе угла DAB (внутренней, так как конфигурация выпуклая и O внутри угла A). Но по условию O лежит на диагонали AC. Следовательно, луч AC и есть биссектриса угла A, то есть DAC= BAC=:a, DAB=2a. **Шаг 2. Отрезок BO — биссектриса угла B.** Прямые AB и BC пересекаются в вершине B. Точка O равноудалена и от них, поэтому лежит на биссектрисе угла ABC; этой биссектрисой служит луч BO, и ABO= OBC=:b, ABC=2b. **Шаг 3. Связь a и b из треугольника AOB.** В треугольнике AOB известно OAB=a, ABO=b, AOB=110^. Сумма углов даёт a+b+110^=180^ a+b=70^, b=70^-a. Поэтому ABC=2b=140^-2a. **Шаг 4. Сторона при C и при D: треугольники BOC и AOD.** Точки A,O,C лежат на одной прямой, поэтому смежные с AOB и AOD углы дают BOC=180^- AOB=70^, AOD=180^- COD=180^-90^=90^. В треугольнике BOC: OBC=70^-a, BOC=70^, откуда BCA= OCB=180^-70^-(70^-a)=40^+a. В треугольнике AOD: OAD=a (так как AC — биссектриса угла A) и AOD=90^, откуда ADO=90^-a. **Шаг 5. Треугольник OCD — равнобедренный прямоугольный.** По условию OC=OD и COD=90^, значит треугольник OCD прямоугольный и равнобедренный, его углы при основании равны: OCD= ODC=(180^-90^)/(2)=45^. **Шаг 6. Замыкающее уравнение на a.** Найдём длины OC и OD, приняв AO=1. В прямоугольном (при вершине O) треугольнике AOD: OD=AO*tan a=tan a. В треугольнике AOB по теореме синусов BO=(AOsin a)/(sin(70^-a))=(sin a)/(sin(70^-a)); затем в треугольнике BOC по теореме синусов OC=(BOsin OBC)/(sin OCB)=(sin a)/(sin(70^-a))*(sin(70^-a))/(sin(40^+a))=(sin a)/(sin(40^+a)). Равенство OC=OD даёт (sin a)/(sin(40^+a))=(sin a)/(cos a) sin(40^+a)=cos a=sin(90^-a). Так как 40^+a и 90^-a — острые при искомом a, отсюда 40^+a=90^-a a=25^. **Шаг 7. Углы четырёхугольника.** Подставляя a=25^: A= DAB=2a=50^, B= ABC=140^-2a=90^, C= BCD= BCA+ ACD=(40^+a)+ OCD=(40^+25^)+45^=110^, D= ADC= ADO+ ODC=(90^-a)+45^=(90^-25^)+45^=110^. Контроль суммы: 50^+90^+110^+110^=360^. **Ответ:** углы четырёхугольника равны A=50^, B=90^, C=110^, D=110^.

\(50^\circ,\ 90^\circ,\ 110^\circ,\ 110^\circ\)