Решить неравенство _(sqrt(2))(6-x-x^2)+_2(x^2-2x+1)+2>2_4(x^2-4x+3)^2.

Требуется решить неравенство _(sqrt(2))(6-x-x^2)+_2(x^2-2x+1)+2>2_4(x^2-4x+3)^2. **Область допустимых значений.** Аргументы логарифмов должны быть положительны. Для первого слагаемого нужно 6-x-x^2>0, то есть x^2+x-6<0, откуда -3<x<2. Для второго слагаемого: x^2-2x+1=(x-1)^2>0, что выполнено при всех x1. Для правой части аргумент равен (x^2-4x+3)^2; так как x^2-4x+3=(x-1)(x-3), нужно (x-1)(x-3)0, то есть x1 и x3. Объединяя, получаем ОДЗ: xin(-3,2), x1 (условие x3 выполнено автоматически, так как 3not in(-3,2)). **Приведение к одному основанию.** Переведём все логарифмы к основанию 2. Поскольку основание sqrt(2)=2^(1/2), _(sqrt(2))(6-x-x^2)=(_2(6-x-x^2))/(_2 2^(1/2))=2_2(6-x-x^2). Далее, на ОДЗ (x-1)^2>0, поэтому _2(x^2-2x+1)=_2(x-1)^2=2_2|x-1|. Наконец, поскольку _4 t=(_2 t)/(2), правая часть равна 2_4(x^2-4x+3)^2=_2(x^2-4x+3)^2=2_2|x^2-4x+3|=2_2|x-1|+2_2|x-3|, где использовано разложение x^2-4x+3=(x-1)(x-3) и свойство _2|ab|=_2|a|+_2|b| (все множители на ОДЗ отличны от нуля). Подставляя эти выражения и обозначив для краткости A=6-x-x^2>0, исходное неравенство принимает вид 2_2 A+2_2|x-1|+2>2_2|x-1|+2_2|x-3|. **Сокращение и упрощение.** Слагаемые 2_2|x-1| в обеих частях конечны (так как x1) и потому взаимно уничтожаются: 2_2 A+2>2_2|x-3|. Разделим на 2: _2 A+1>_2|x-3|. Так как 1=_2 2, левую часть запишем как _2(2A): _2(2A)>_2|x-3|. Функция _2 строго возрастает, а оба аргумента положительны (2A>0 и |x-3|>0 на ОДЗ), поэтому неравенство равносильно сравнению самих аргументов: 2A>|x-3|. **Раскрытие модуля.** На ОДЗ x<2<3, значит x-3<0 и |x-3|=3-x. Подставляя A=6-x-x^2, получаем 2(6-x-x^2)>3-x, 12-2x-2x^2>3-x, -2x^2-x+9>0, и, домножив на -1 (со сменой знака), 2x^2+x-9<0. **Решение квадратного неравенства.** Дискриминант равен D=1+72=73, корни x_(1,2)=(-1+-sqrt(73))/(4). Старший коэффициент положителен, поэтому трёхчлен отрицателен между корнями: (-1-sqrt(73))/(4)<x<(-1+sqrt(73))/(4). Численно (-1-sqrt(73))/(4)~-2,386 и (-1+sqrt(73))/(4)~1,886. **Пересечение с ОДЗ.** Найденный интервал целиком лежит внутри (-3,2), так как -3<(-1-sqrt(73))/(4) и (-1+sqrt(73))/(4)<2 (второе равносильно sqrt(73)<9, то есть 73<81 — верно; первое равносильно sqrt(73)<11, то есть 73<121 — верно). Остаётся учесть исключённую точку x=1, которая попадает внутрь интервала (поскольку -2,386<1<1,886) и должна быть выколота. Граничные точки x=(-1+-sqrt(73))/(4) исключаются, ибо в них 2A=3-x, то есть достигается равенство _2(2A)=_2|x-3|, а неравенство строгое. **Ответ.** xin((-1-sqrt(73))/(4); 1)U(1; (-1+sqrt(73))/(4)).

\(\left(\frac{-1-\sqrt{73}}{4};\ 1\right)\cup\left(1;\ \frac{-1+\sqrt{73}}{4}\right)\)