Задача №18209

Решить неравенство

$${\log }_{\sqrt{2}}\left(6-x-x^2\right)+{\log }_2\left(x^2-2x+1\right)+2>2{\log }_4{\left(x^2-4x+3\right)}^2.$$

Требуется решить неравенство

$${\log }_{\sqrt{2}}\left(6-x-x^2\right)+{\log }_2\left(x^2-2x+1\right)+2>2{\log }_4{\left(x^2-4x+3\right)}^2.$$

Область допустимых значений. Аргументы логарифмов должны быть положительны.

Для первого слагаемого нужно $6-x-x^2>0\text{,}$ то есть $x^2+x-6<0\text{,}$ откуда $-3<x<2\text{.}$

Для второго слагаемого: $x^2-2x+1=(x-1{)}^2>0\text{,}$ что выполнено при всех $x\ne 1\text{.}$

Для правой части аргумент равен ${\left(x^2-4x+3\right)}^2\text{;}$ так как $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\text{,}$ нужно $(x-1)(x-3)\ne 0\text{,}$ то есть $x\ne 1$ и $x\ne 3\text{.}$

Объединяя, получаем ОДЗ:

$$x\in (-3,2),x\ne 1$$

(условие $x\ne 3$ выполнено автоматически, так как $3\notin (-3,2)$).

Приведение к одному основанию. Переведём все логарифмы к основанию $2\text{.}$ Поскольку основание $\sqrt{2}=2^{1/2}\text{,}$

$${\log }_{\sqrt{2}}\left(6-x-x^2\right)=\frac{{\log }_2\left(6-x-x^2\right)}{{\log }_2{2}^{1/2}}=2{\log }_2\left(6-x-x^2\right).$$

Далее, на ОДЗ $(x-1{)}^2>0\text{,}$ поэтому

$${\log }_2\left(x^2-2x+1\right)={\log }_2(x-1{)}^2=2{\log }_2|x-1|.$$

Наконец, поскольку ${\log }_{4}t=\frac{{\log }_{2}t}{2}\text{,}$ правая часть равна

$$2{\log }_4{\left(x^2-4x+3\right)}^2={\log }_2{\left(x^2-4x+3\right)}^2=2{\log }_2|x^2-4x+3|=2{\log }_2|x-1|+2{\log }_2|x-3|,$$

где использовано разложение $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$ и свойство ${\log }_2|ab|={\log }_2|a|+{\log }_2|b|$ (все множители на ОДЗ отличны от нуля).

Подставляя эти выражения и обозначив для краткости $A=6-x-x^2>0\text{,}$ исходное неравенство принимает вид

$$2{\log }_{2}A+2{\log }_2|x-1|+2>2{\log }_2|x-1|+2{\log }_2|x-3|.$$

Сокращение и упрощение. Слагаемые $2{\log }_2|x-1|$ в обеих частях конечны (так как $x\ne 1$) и потому взаимно уничтожаются:

$$2{\log }_{2}A+2>2{\log }_2|x-3|.$$

Разделим на $2\text{:}$

$${\log }_{2}A+1>{\log }_2|x-3|.$$

Так как $1={\log }_{2}2\text{,}$ левую часть запишем как ${\log }_2(2A)\text{:}$

$${\log }_2(2A)>{\log }_2|x-3|.$$

Функция ${\log }_2$ строго возрастает, а оба аргумента положительны ($2A>0$ и $|x-3|>0$ на ОДЗ), поэтому неравенство равносильно сравнению самих аргументов:

$$2A>|x-3|.$$

Раскрытие модуля. На ОДЗ $x<2<3\text{,}$ значит $x-3<0$ и $|x-3|=3-x\text{.}$ Подставляя $A=6-x-x^2\text{,}$ получаем

$$2\left(6-x-x^2\right)>3-x,$$ $$12-2x-2x^2>3-x,$$ $$-2x^2-x+9>0,$$

и, домножив на $-1$ (со сменой знака),

$$2x^2+x-9<0.$$

Решение квадратного неравенства. Дискриминант равен $D=1+72=73\text{,}$ корни

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{73}}{4}.$$

Старший коэффициент положителен, поэтому трёхчлен отрицателен между корнями:

$$\frac{-1-\sqrt{73}}{4}<x<\frac{-1+\sqrt{73}}{4}.$$

Численно $\frac{-1-\sqrt{73}}{4}\approx -2,386$ и $\frac{-1+\sqrt{73}}{4}\approx 1,886\text{.}$

Пересечение с ОДЗ. Найденный интервал целиком лежит внутри $(-3,2)\text{,}$ так как

$$-3<\frac{-1-\sqrt{73}}{4}\text{и}\frac{-1+\sqrt{73}}{4}<2$$

(второе равносильно $\sqrt{73}<9\text{,}$ то есть $73<81$ — верно; первое равносильно $\sqrt{73}<11\text{,}$ то есть $73<121$ — верно). Остаётся учесть исключённую точку $x=1\text{,}$ которая попадает внутрь интервала (поскольку $-2,386<1<1,886$) и должна быть выколота. Граничные точки $x=\frac{-1\pm \sqrt{73}}{4}$ исключаются, ибо в них $2A=3-x\text{,}$ то есть достигается равенство ${\log }_2(2A)={\log }_2|x-3|\text{,}$ а неравенство строгое.

Ответ.

$$x\in \left(\frac{-1-\sqrt{73}}{4};1\right)\cup \left(1;\frac{-1+\sqrt{73}}{4}\right).$$