В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD. Известно, что плоскости треугольников ASC и BSD перпендикулярны друг другу. Найти площадь грани ASD, если площади граней ASB, BSC...

Задача №18190: Стереометрия

Обозначим вершину пирамиды через $S,$ а центр параллелограмма $A B C D$ (точку пересечения диагоналей $A C$ и $B D$ ) через $O .$ Поскольку $A B C D$ — параллелограмм, точка $O$ является серединой каждой из диагоналей, поэтому в радиус-векторах с началом в $S$ выполняется равенство

S A + S C = S B + S D = 2 S O .

Введём векторы из вершины $S :$

a = S A, b = S B, c = S C, d = S D,

и положим

o = S O = \frac{1}{2} (a + c) = \frac{1}{2} (b + d), p = \frac{1}{2} (a - c), q = \frac{1}{2} (b - d) .

Тогда

a = o + p, c = o - p, b = o + q, d = o - q .

Геометрически $p$ направлен вдоль диагонали $A C$ (это $O A$ ), а $q$ — вдоль диагонали $B D$ (это $O B$ ).

Площади граней через векторное произведение. Площадь треугольной грани равна половине модуля векторного произведения двух её сторон, выходящих из $S :$

S_{A S B} = \frac{1}{2} a \times b, S_{B S C} = \frac{1}{2} b \times c, S_{C S D} = \frac{1}{2} c \times d, S_{A S D} = \frac{1}{2} a \times d .

Подставим выражения через $o, p, q .$ Введём три вспомогательных вектора

A_{1} = o \times p, A_{2} = o \times q, A_{3} = p \times q .

Раскрывая произведения и пользуясь линейностью и кососимметричностью векторного произведения ( $p \times o = - A_{1},$ $q \times o = - A_{2}$ ), получаем

a \times b = (o + p) \times (o + q) = - A_{1} + A_{2} + A_{3},

c \times d = (o - p) \times (o - q) = A_{1} - A_{2} + A_{3},

b \times c = (o + q) \times (o - p) = - A_{1} - A_{2} + A_{3},

a \times d = (o + p) \times (o - q) = - A_{1} - A_{2} - A_{3} .

Геометрический смысл $A_{1}$ и $A_{2} .$ Плоскость грани $A S C$ содержит точки $S, A, C,$ то есть натянута на векторы $a$ и $c;$ её нормаль коллинеарна

a \times c = (o + p) \times (o - p) = - 2 o \times p = - 2 A_{1},

то есть нормаль к плоскости $A S C$ параллельна $A_{1} .$ Аналогично нормаль к плоскости $B S D$ параллельна $b \times d = - 2 o \times q = - 2 A_{2},$ то есть параллельна $A_{2} .$ Поэтому условие перпендикулярности плоскостей $A S C$ и $B S D$ равносильно ортогональности их нормалей:

плоскости A S C ⊥ B S D ⟺ A_{1} \cdot A_{2} = 0.

Ключевое соотношение между площадями. Вычислим сумму квадратов модулей. Сгруппируем:

a \times b^{2} + c \times d^{2} = (A_{2} - A_{1}) + A_{3}^{2} + - (A_{2} - A_{1}) + A_{3}^{2} = 2 A_{2} - A_{1}^{2} + 2 A_{3}^{2},

b \times c^{2} + a \times d^{2} = - (A_{1} + A_{2}) + A_{3}^{2} + - (A_{1} + A_{2}) - A_{3}^{2} = 2 A_{1} + A_{2}^{2} + 2 A_{3}^{2} .

Вычитая, получаем точное тождество

(a \times b^{2} + c \times d^{2}) - (b \times c^{2} + a \times d^{2}) = 2 A_{2} - A_{1}^{2} - 2 A_{1} + A_{2}^{2} = - 8 (A_{1} \cdot A_{2}) .

Следовательно, перпендикулярность плоскостей $A S C$ и $B S D$ (равносильная $A_{1} \cdot A_{2} = 0$ ) равносильна равенству

a \times b^{2} + c \times d^{2} = b \times c^{2} + a \times d^{2} .

Деля на $4$ и переходя к площадям граней, приходим к соотношению

S_{A S B}^{2} + S_{C S D}^{2} = S_{B S C}^{2} + S_{A S D}^{2} .

То есть для пирамиды с параллелограммом в основании и перпендикулярными диагональными плоскостями $A S C$ и $B S D$ суммы квадратов площадей противоположных боковых граней равны.

Вычисление искомой площади. Подставляя данные $S_{A S B} = 5,$ $S_{B S C} = 6,$ $S_{C S D} = 7 :$

S_{A S D}^{2} = S_{A S B}^{2} + S_{C S D}^{2} - S_{B S C}^{2} = 25 + 49 - 36 = 38,

откуда

S_{A S D} = 38 .

Ответ: площадь грани $A S D$ равна $38 .$

S A + S C = S B + S D = 2 S O .

Введём векторы из вершины $S :$

a = S A, b = S B, c = S C, d = S D,

и положим

o = S O = \frac{1}{2} (a + c) = \frac{1}{2} (b + d), p = \frac{1}{2} (a - c), q = \frac{1}{2} (b - d) .

Тогда

a = o + p, c = o - p, b = o + q, d = o - q .

Геометрически $p$ направлен вдоль диагонали $A C$ (это $O A$ ), а $q$ — вдоль диагонали $B D$ (это $O B$ ).

S_{A S B} = \frac{1}{2} a \times b, S_{B S C} = \frac{1}{2} b \times c, S_{C S D} = \frac{1}{2} c \times d, S_{A S D} = \frac{1}{2} a \times d .

Подставим выражения через $o, p, q .$ Введём три вспомогательных вектора

A_{1} = o \times p, A_{2} = o \times q, A_{3} = p \times q .

a \times b = (o + p) \times (o + q) = - A_{1} + A_{2} + A_{3},

c \times d = (o - p) \times (o - q) = A_{1} - A_{2} + A_{3},

b \times c = (o + q) \times (o - p) = - A_{1} - A_{2} + A_{3},

a \times d = (o + p) \times (o - q) = - A_{1} - A_{2} - A_{3} .

a \times c = (o + p) \times (o - p) = - 2 o \times p = - 2 A_{1},

плоскости A S C ⊥ B S D ⟺ A_{1} \cdot A_{2} = 0.

Ключевое соотношение между площадями. Вычислим сумму квадратов модулей. Сгруппируем:

a \times b^{2} + c \times d^{2} = (A_{2} - A_{1}) + A_{3}^{2} + - (A_{2} - A_{1}) + A_{3}^{2} = 2 A_{2} - A_{1}^{2} + 2 A_{3}^{2},

b \times c^{2} + a \times d^{2} = - (A_{1} + A_{2}) + A_{3}^{2} + - (A_{1} + A_{2}) - A_{3}^{2} = 2 A_{1} + A_{2}^{2} + 2 A_{3}^{2} .

Вычитая, получаем точное тождество

(a \times b^{2} + c \times d^{2}) - (b \times c^{2} + a \times d^{2}) = 2 A_{2} - A_{1}^{2} - 2 A_{1} + A_{2}^{2} = - 8 (A_{1} \cdot A_{2}) .

Следовательно, перпендикулярность плоскостей $A S C$ и $B S D$ (равносильная $A_{1} \cdot A_{2} = 0$ ) равносильна равенству

a \times b^{2} + c \times d^{2} = b \times c^{2} + a \times d^{2} .

Деля на $4$ и переходя к площадям граней, приходим к соотношению

S_{A S B}^{2} + S_{C S D}^{2} = S_{B S C}^{2} + S_{A S D}^{2} .

Вычисление искомой площади. Подставляя данные $S_{A S B} = 5,$ $S_{B S C} = 6,$ $S_{C S D} = 7 :$

S_{A S D}^{2} = S_{A S B}^{2} + S_{C S D}^{2} - S_{B S C}^{2} = 25 + 49 - 36 = 38,

откуда

S_{A S D} = 38 .

Ответ: площадь грани $A S D$ равна $38 .$

Задача №18190

Задача #18190

Решай похожие задачи

Информация

Задача №18190

Задача #18190

Решай похожие задачи

Информация

Задача #18190

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация

Задача #18190

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация