В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD. Известно, что плоскости треугольников ASC и BSD перпендикулярны друг другу. Найти площадь грани ASD, если площади граней ASB, BSC и CSD равны соответственно 5, 6 и 7.

Обозначим вершину пирамиды через S , а центр параллелограмма ABCD (точку пересечения диагоналей AC и BD ) через O . Поскольку ABCD — параллелограмм, точка O является серединой каждой из диагоналей, поэтому в радиус-векторах с началом в S выполняется равенство SA+SC=SB+SD=2SO. Введём векторы из вершины S : a=SA, b=SB, c=SC, d=SD, и положим o=SO=12( a+ c)=12( b+ d), p=12( a- c), q=12( b- d). Тогда a= o+ p, c= o- p, b= o+ q, d= o- q. Геометрически p направлен вдоль диагонали AC (это OA ), а q — вдоль диагонали BD (это OB ). **Площади граней через векторное произведение.** Площадь треугольной грани равна половине модуля векторного произведения двух её сторон, выходящих из S : S_(ASB)=12| a* b|, S_(BSC)=12| b* c|, S_(CSD)=12| c* d|, S_(ASD)=12| a* d|. Подставим выражения через o, p, q . Введём три вспомогательных вектора A_1= o* p, A_2= o* q, A_3= p* q. Раскрывая произведения и пользуясь линейностью и кососимметричностью векторного произведения ( p* o=- A_1 , q* o=- A_2 ), получаем a* b=( o+ p)*( o+ q)=- A_1+ A_2+ A_3, c* d=( o- p)*( o- q)= A_1- A_2+ A_3, b* c=( o+ q)*( o- p)=- A_1- A_2+ A_3, a* d=( o+ p)*( o- q)=- A_1- A_2- A_3. **Геометрический смысл A_1 и A_2 .** Плоскость грани ASC содержит точки S,A,C , то есть натянута на векторы a и c ; её нормаль коллинеарна a* c=( o+ p)*( o- p)=-2 o* p=-2 A_1, то есть нормаль к плоскости ASC параллельна A_1 . Аналогично нормаль к плоскости BSD параллельна b* d=-2 o* q=-2 A_2 , то есть параллельна A_2 . Поэтому условие перпендикулярности плоскостей ASC и BSD равносильно ортогональности их нормалей: плоскости ASC BSD A_1* A_2=0. **Ключевое соотношение между площадями.** Вычислим сумму квадратов модулей. Сгруппируем: | a* b|^2+| c* d|^2 =|( A_2- A_1)+ A_3|^2+|-( A_2- A_1)+ A_3|^2 =2| A_2- A_1|^2+2| A_3|^2, | b* c|^2+| a* d|^2 =|-( A_1+ A_2)+ A_3|^2+|-( A_1+ A_2)- A_3|^2 =2| A_1+ A_2|^2+2| A_3|^2. Вычитая, получаем точное тождество (| a* b|^2+| c* d|^2)-(| b* c|^2+| a* d|^2) =2| A_2- A_1|^2-2| A_1+ A_2|^2=-8( A_1* A_2). Следовательно, перпендикулярность плоскостей ASC и BSD (равносильная A_1* A_2=0 ) равносильна равенству | a* b|^2+| c* d|^2=| b* c|^2+| a* d|^2. Деля на 4 и переходя к площадям граней, приходим к соотношению S_(ASB)^(2)+S_(CSD)^(2)=S_(BSC)^(2)+S_(ASD)^(2). То есть для пирамиды с параллелограммом в основании и перпендикулярными диагональными плоскостями ASC и BSD суммы квадратов площадей противоположных боковых граней равны. **Вычисление искомой площади.** Подставляя данные S_(ASB)=5 , S_(BSC)=6 , S_(CSD)=7 : S_(ASD)^(2)=S_(ASB)^(2)+S_(CSD)^(2)-S_(BSC)^(2)=25+49-36=38, откуда S_(ASD)=sqrt(38). **Ответ:** площадь грани ASD равна sqrt(38) .

\(\sqrt{38}\)