Найти все a, при которых уравнение (|a|-1)cos 2x+(1-|a-2|)sin 2x+(1-|2-a|)cos x+(1-|a|)sin x=0 имеет нечётное число решений на интервале (-pi;pi).

Обозначим коэффициенты уравнения. Так как |a-2|=|2-a|, коэффициенты при sin 2x и при cos x совпадают. Введём p=|a|-1, q=1-|a-2|, тогда коэффициент при cos 2x равен p, при sin 2x и при cos x равен q, а при sin x равен 1-|a|=-p. Уравнение принимает вид pcos 2x+qsin 2x+qcos x-psin x=0. 1 **Переход к рациональному уравнению.** На интервале (-pi;pi) определена замена t=tg(x)/(2), задающая биекцию (-pi;pi): каждому xin(-pi;pi) отвечает единственное tinR и наоборот (точки x=+-pi, где замена не определена, в интервал не входят). При этом sin x=(2t)/(1+t^2), cos x=(1-t^2)/(1+t^2), а cos 2x, sin 2x выражаются через них. Подставив это в (1) и умножив на положительный множитель (1+t^2)^2>0, получим равносильное (для xin(-pi;pi)) уравнение (p-q)t^4-(2p+4q)t^3-6pt^2-(2p-4q)t+(p+q)=0. 2 Поскольку замена взаимно однозначна, число решений уравнения (1) на (-pi;pi) равно числу **различных** действительных корней многочлена в (2) (каждому различному t отвечает ровно один x, кратность корня роли не играет). **Выделение гарантированного корня.** Прямая подстановка показывает, что x=-(pi)/(2) (то есть t=tg(-pi/4)=-1) обращает (1) в нуль при любом a: действительно, pcos(-pi)+qsin(-pi)+qcos(-(pi)/(2))-psin(-(pi)/(2))=-p+0+0+p=0. Соответственно t=-1 — корень многочлена (2) при всех p,q. Делением получаем (2) (t+1)C(t)=0, C(t)=(p-q)t^3-3(p+q)t^2+3(q-p)t+(p+q). 3 **Выражение p,q через a.** Раскрывая модули, имеем три области: | область | p= a-1 | q=1- a-2 | p-q | p+q | |---|---|---|---|---| | a<0 | -a-1 | a-1 | -2a | -2 | | 0<= a<2 | a-1 | a-1 | 0 | 2a-2 | | a>= 2 | a-1 | 3-a | 2a-4 | 2 | Разберём области по очереди. **1) Промежуток 0<= a<2.** Здесь p=q=a-1=:k, поэтому p-q=0, и (3) превращается в (t+1)(-3* 2kt^2+2k)=-2k(t+1)(3t^2-1)=0. Если a!= 1 (то есть k!= 0), различные действительные корни суть t=-1 и t=+-(1)/(3) — ровно три различных значения, причём (1)/(3)!= 1, так что все они различны. Получаем **3 решения** — нечётное число. Если же a=1, то p=q=0 и левая часть (1) тождественно равна нулю: уравнению удовлетворяют все xin(-pi;pi). Решений бесконечно много, конечного (а значит, и нечётного) числа решений нет, поэтому a=1 исключается. Итак, на этом промежутке подходят все ain[0;1)U(1;2] (включая концы a=0 и a=2, где k0). **2) Промежуток a<0.** Здесь p+q=-2, p-q=-2a, и многочлен C с точностью до постоянного множителя есть C(t) at^3-3t^2-3at+1. Это кубический многочлен (старший коэффициент a0). Его дискриминант равен 108(a^2+1)^2>0, значит, у него три различных действительных корня. Ни один из них не равен -1: подстановка даёт C(-1) 2a-2<0 при a<0. Следовательно, у произведения (t+1)C(t) ровно 1+3=4 различных действительных корня — **4 решения**, число чётное. Подходящих a на этом промежутке нет. **3) Промежуток a>= 2.** Здесь p+q=2, p-q=2a-4, и C(t) (a-2)t^3-3t^2+(6-3a)t+1. При a=2 старший коэффициент обращается в нуль, и C вырождается: C(t) 1-3t^2, корни t=+-(1)/(3); вместе с t=-1 это даёт 3 различных корня — **3 решения** (нечётное). Точка a=2 уже учтена в области 1 (там p=q=10), результат согласуется. При a>2 старший коэффициент a-2>0, и дискриминант кубического C равен 108(a^2-4a+5)^2=108((a-2)^2+1)^2>0, поэтому C имеет три различных действительных корня. Остаётся проверить, не совпадает ли какой-то из них с уже имеющимся корнем t=-1: C(-1) 2a-6, и это равно нулю тогда и только тогда, когда a=3. — Если a>2 и a!= 3, то t=-1 не является корнем C, и всего различных корней 1+3=4 — **4 решения** (чётное), не подходит. — Если a=3, то t=-1 — корень и множителя t+1, и кубического C: здесь C(t)=(t+1)(t^2-4t+1), так что (t+1)C(t)=(t+1)^2(t^2-4t+1). Различные действительные корни — это t=-1 и t=2+-3, всего три. Получаем **3 решения** — нечётное число. Значит, a=3 подходит. **Сводка.** Нечётное число решений на (-pi;pi) достигается ровно при ain[0;1)U(1;2]U3. **Ответ:** [0;1)U(1;2]U3.

\([0;1)\cup(1;2]\cup\{3\}\)