Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке A. Прямая, проходящая через точку A, пересекает первую окружность в точке B, а вторую — в точке C. Касательная к первой окружности, проходящая через точку B, пересекает вторую окружность в точках D и E (D лежит между B и E). Известно, что AB=5 и AC=4. Найти длину отрезка CE и расстояние от точки A до центра окружности, касающейся отрезка AD и продолжений отрезков ED и EA за точки D и A соответственно.

Обозначим первую окружность через _1, вторую — через _2; они касаются внешним образом в точке A. Точки B, A, C лежат на одной прямой (секущей), причём A между B и C; по условию AB=5, AC=4. Прямая BDE — касательная к _1 в точке B, а D, E — точки её пересечения с _2, причём D между B и E. **Гомотетия в точке касания.** Так как окружности касаются внешним образом в A, существует гомотетия с центром A и отрицательным коэффициентом k=-(R_2)/(R_1), переводящая _1 в _2 (R_1,R_2 — радиусы). Точка Bin_1 на прямой BAC переходит в точку пересечения этой прямой с _2, лежащую по другую сторону от A, то есть в C. Значит, C — образ B, и (R_2)/(R_1)=(AC)/(AB)=(4)/(5). Гомотетия сохраняет направления, поэтому касательная к _1 в B (это прямая BDE) переходит в касательную к _2 в точке C и параллельна ей. Итак, хорда DE окружности _2 **параллельна касательной к _2 в точке C**. Хорда, параллельная касательной в некоторой точке, отсекает на окружности равные дуги по обе стороны от этой точки, поэтому C — середина дуги DE, и CD=CE. **Касательно-хордовый угол.** Касательная BD к _1 и хорда BA образуют угол, равный вписанному в _1 углу, опирающемуся на BA; этот же вписанный угол равен углу между хордой BA и касательной к _1 в точке A (общей касательной t к обеим окружностям в A). Значит, угол между прямыми BDE и BAC равен углу между t и прямой BAC. Но прямая BAC содержит и хорду AC окружности _2, для которой по касательно-хордовому свойству в _2 угол между t и AC равен вписанному углу AEC. Отсюда ABD= AEC. Кроме того, вписанные в _2 углы ADB и ACE опираются на одну дугу AE, поэтому ADB= ACE. Следовательно, треугольники ABD и AEC подобны по двум углам: ABD AEC => (AB)/(AE)=(AD)/(AC) => AD* AE=AB* AC=5* 4=20. **Степень точки B.** Из точки B проведены две секущие к _2: одна содержит A и C, другая — D и E. По теореме о секущих BD* BE=BA* BC=AB*(AB+AC)=5* 9=45. **Длина CE.** Так как четырёхугольник с вершинами A,D,E,C вписан в _2 (все четыре точки на нём), для секущих из внешней точки B верны подобия BAD BEC и BAE BDC (общий угол при B, равные углы у вписанного четырёхугольника). Отсюда CE=(AD* BE)/(AB), CD=(AE* BD)/(AB). Перемножив и использовав CD=CE, получаем CE^2=CE* CD=((AD* AE)(BD* BE))/(AB^2)=(20* 45)/(25)=36, поэтому CE=6 (и попутно CD=CE=6). **Расстояние от A до центра окружности.** Рассмотрим треугольник ADE. Окружность, о которой идёт речь, касается стороны AD и продолжений сторон ED (за точку D) и EA (за точку A) — это вневписанная окружность треугольника ADE, противолежащая вершине E; обозначим её центр I (он лежит на биссектрисе угла A треугольника ADE). Касательная из вершины A к этой окружности имеет длину t_A=(AD+DE-AE)/(2), а расстояние от A до центра равно AI=(t_A)/(sin DAE2), поскольку AI — гипотенуза прямоугольного треугольника с острым углом ( DAE)/(2) при вершине A и противолежащим катетом t_A (радиус-перпендикуляр к стороне в точке касания). Введём обозначение alpha= DAE. В равнобедренном треугольнике CDE с CD=CE=6 угол при вершине C равен DCE. Поскольку A и C лежат на _2 по одну сторону от хорды DE, вписанные углы равны: DCE= DAE=alpha. Тогда основание равнобедренного треугольника DE=2* CE*sin(alpha)/(2)=12sin(alpha)/(2). Применим теорему Птолемея к вписанному в _2 четырёхугольнику с вершинами в порядке D,A,C,E (диагонали DC и AE): DC* AE=DA* CE+AC* ED. Так как DC=CE=6, а AC=4, получаем 6AE=6AD+4DE, то есть AE-AD=(2)/(3)DE. Подставляя в формулу для t_A: t_A=(AD+DE-AE)/(2)=(DE-(AE-AD))/(2)=(DE-(2)/(3)DE)/(2)=(DE)/(6)=(12sinalpha2)/(6)=2sin(alpha)/(2). Окончательно AI=(t_A)/(sinalpha2)=(2sinalpha2)/(sinalpha2)=2. Замечательно, что обе искомые величины не зависят от радиусов окружностей (то есть от свободного параметра конфигурации) и определяются только данными AB=5, AC=4. **Ответ.** CE=6; расстояние от точки A до центра указанной окружности равно 2.

\(6,\ 2\)