Задача №18188

Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке $A\text{.}$ Прямая, проходящая через точку $A\text{,}$ пересекает первую окружность в точке $B\text{,}$ а вторую — в точке $C\text{.}$ Касательная к первой окружности, проходящая через точку $B\text{,}$ пересекает вторую окружность в точках $D$ и $E$ ($D$ лежит между $B$ и $E$). Известно, что $AB=5$ и $AC=4\text{.}$ Найти длину отрезка $CE$ и расстояние от точки $A$ до центра окружности, касающейся отрезка $AD$ и продолжений отрезков $ED$ и $EA$ за точки $D$ и $A$ соответственно.

Обозначим первую окружность через ${\omega }_1\text{,}$ вторую — через ${\omega }_2\text{;}$ они касаются внешним образом в точке $A\text{.}$ Точки $B,A,C$ лежат на одной прямой (секущей), причём $A$ между $B$ и $C\text{;}$ по условию $AB=5\text{,}$ $AC=4\text{.}$ Прямая $BDE$ — касательная к ${\omega }_1$ в точке $B\text{,}$ а $D,E$ — точки её пересечения с ${\omega }_2\text{,}$ причём $D$ между $B$ и $E\text{.}$

Гомотетия в точке касания. Так как окружности касаются внешним образом в $A\text{,}$ существует гомотетия с центром $A$ и отрицательным коэффициентом $k=-\frac{R_2}{R_1}\text{,}$ переводящая ${\omega }_1$ в ${\omega }_2$ ($R_1,R_2$ — радиусы). Точка $B\in {\omega }_1$ на прямой $BAC$ переходит в точку пересечения этой прямой с ${\omega }_2\text{,}$ лежащую по другую сторону от $A\text{,}$ то есть в $C\text{.}$ Значит, $C$ — образ $B\text{,}$ и

Гомотетия сохраняет направления, поэтому касательная к ${\omega }_1$ в $B$ (это прямая $BDE$) переходит в касательную к ${\omega }_2$ в точке $C$ и параллельна ей. Итак, хорда $DE$ окружности ${\omega }_2$ параллельна касательной к ${\omega }_2$ в точке $C$. Хорда, параллельная касательной в некоторой точке, отсекает на окружности равные дуги по обе стороны от этой точки, поэтому $C$ — середина дуги $DE\text{,}$ и

Касательно-хордовый угол. Касательная $BD$ к ${\omega }_1$ и хорда $BA$ образуют угол, равный вписанному в ${\omega }_1$ углу, опирающемуся на $BA\text{;}$ этот же вписанный угол равен углу между хордой $BA$ и касательной к ${\omega }_1$ в точке $A$ (общей касательной $t$ к обеим окружностям в $A$). Значит, угол между прямыми $BDE$ и $BAC$ равен углу между $t$ и прямой $BAC\text{.}$ Но прямая $BAC$ содержит и хорду $AC$ окружности ${\omega }_2\text{,}$ для которой по касательно-хордовому свойству в ${\omega }_2$ угол между $t$ и $AC$ равен вписанному углу $\angle AEC\text{.}$ Отсюда

Кроме того, вписанные в ${\omega }_2$ углы $\angle ADB$ и $\angle ACE$ опираются на одну дугу $AE\text{,}$ поэтому $\angle ADB=\angle ACE\text{.}$ Следовательно, треугольники $ABD$ и $AEC$ подобны по двум углам:

Степень точки $B\text{.}$ Из точки $B$ проведены две секущие к ${\omega }_2\text{:}$ одна содержит $A$ и $C\text{,}$ другая — $D$ и $E\text{.}$ По теореме о секущих

Длина $CE\text{.}$ Так как четырёхугольник с вершинами $A,D,E,C$ вписан в ${\omega }_2$ (все четыре точки на нём), для секущих из внешней точки $B$ верны подобия $△BAD\sim △BEC$ и $△BAE\sim △BDC$ (общий угол при $B\text{,}$ равные углы у вписанного четырёхугольника). Отсюда

Перемножив и использовав $CD=CE\text{,}$ получаем

поэтому

Расстояние от $A$ до центра окружности. Рассмотрим треугольник $ADE\text{.}$ Окружность, о которой идёт речь, касается стороны $AD$ и продолжений сторон $ED$ (за точку $D$) и $EA$ (за точку $A$) — это вневписанная окружность треугольника $ADE\text{,}$ противолежащая вершине $E\text{;}$ обозначим её центр $I$ (он лежит на биссектрисе угла $A$ треугольника $ADE$). Касательная из вершины $A$ к этой окружности имеет длину

а расстояние от $A$ до центра равно

поскольку $AI$ — гипотенуза прямоугольного треугольника с острым углом $\frac{\angle DAE}{2}$ при вершине $A$ и противолежащим катетом $t_A$ (радиус-перпендикуляр к стороне в точке касания).

Введём обозначение $\alpha =\angle DAE\text{.}$ В равнобедренном треугольнике $CDE$ с $CD=CE=6$ угол при вершине $C$ равен $\angle DCE\text{.}$ Поскольку $A$ и $C$ лежат на ${\omega }_2$ по одну сторону от хорды $DE\text{,}$ вписанные углы равны: $\angle DCE=\angle DAE=\alpha \text{.}$ Тогда основание равнобедренного треугольника

Применим теорему Птолемея к вписанному в ${\omega }_2$ четырёхугольнику с вершинами в порядке $D,A,C,E$ (диагонали $DC$ и $AE$):

Так как $DC=CE=6\text{,}$ а $AC=4\text{,}$ получаем $6AE=6AD+4DE\text{,}$ то есть

Подставляя в формулу для $t_A\text{:}$

Окончательно

Замечательно, что обе искомые величины не зависят от радиусов окружностей (то есть от свободного параметра конфигурации) и определяются только данными $AB=5,AC=4\text{.}$

Ответ. $CE=6\text{;}$ расстояние от точки $A$ до центра указанной окружности равно $2\text{.}$