Задача №18187

Длина дороги, соединяющей пункты $A$ и $B\text{,}$ равна 2 км. По этой дороге курсируют два автобуса. Достигнув пункта $A$ или пункта $B\text{,}$ каждый из автобусов немедленно разворачивается и следует без остановок к другому пункту. Первый автобус движется со скоростью 51 км/ч, а второй — со скоростью 42 км/ч. Сколько раз за время движения автобусы
а) встретятся в пункте $B\text{;}$
б) окажутся в одном месте строго между пунктами $A$ и $B\text{,}$ если известно, что первый стартует из пункта $A\text{,}$ а второй — из пункта $B\text{?}$

Введём координату $s$ на дороге, отсчитывая её от пункта $A\text{;}$ тогда $A$ отвечает значению $s=0\text{,}$ а $B$ — значению $s=2$ (в километрах). Время $t$ будем измерять в часах от момента старта.

Закон движения автобусов. Каждый автобус движется с постоянной по модулю скоростью, мгновенно разворачиваясь в концах, поэтому его координата есть пилообразная (треугольная) функция времени. Первый автобус выходит из $A$ со скоростью $51$ км/ч; его координата $s_1(t)$ равна нулю в моменты, когда пройденный путь $51t$ кратен $2\cdot 2=4$ км (полный цикл «туда-обратно» равен $2\cdot 2=4$ км), и равна $2\text{,}$ когда пройденный путь равен нечётному числу длин дороги. Период этого пилообразного движения равен

Второй автобус выходит из $B$ со скоростью $42$ км/ч; его координата $s_2(t)$ имеет период

Период всей конфигурации. Оба автобуса одновременно возвращаются в исходное положение (первый — в $A\text{,}$ второй — в $B$) с исходными направлениями движения тогда, когда время кратно обоим периодам, то есть кратно наименьшему общему кратному

Действительно, $\frac{T}{T_1}=\frac{4/3}{4/51}=17$ и $\frac{T}{T_2}=\frac{4/3}{2/21}=14$ — оба целые, а меньшего общего кратного нет. Значит, через каждые $\frac{4}{3}$ часа картина движения в точности повторяется. По условию задачи автобусы движутся в течение $8$ часов, а это ровно

полных периодов. Поэтому достаточно подсчитать число встреч за один период и умножить на $6\text{.}$

Где и когда совпадают положения автобусов. Удобно воспользоваться приёмом «развёртки отражений». Сопоставим автобусу, бегающему по отрезку $[0;2]\text{,}$ точку, равномерно бегущую по окружности длины $4$ (двойная длина дороги); реальная координата получается «складыванием» окружности пополам отображением $r(u)=u$ при $0\le u\le 2$ и $r(u)=4-u$ при $2\le u\le 4\text{.}$ Для первого автобуса фаза на окружности равна $u_1=51t(\mathrm{mod}4)$ (старт в $A\text{,}$ $u_1(0)=0$). Для второго, стартующего из $B$ к $A\text{,}$ фаза равна $u_2=2+42t(\mathrm{mod}4)$ (проверка: $r(2)=2$ — это $B\text{,}$ и при малых $t$ координата $r(2+42t)=2-42t$ убывает к $A$).

Два «сложенных» движения совпадают, $r(u_1)=r(u_2)\text{,}$ в точности тогда, когда

Разберём оба случая.

Случай встречного движения: $51t\equiv 2+42t(\mathrm{mod}4)\text{,}$ то есть $(51-42)t\equiv 2(\mathrm{mod}4)\text{,}$ откуда $9t\equiv 2(\mathrm{mod}4)$ и

Случай попутного совпадения: $51t\equiv -(2+42t)(\mathrm{mod}4)\text{,}$ то есть $(51+42)t\equiv -2(\mathrm{mod}4)\text{,}$ откуда $93t\equiv 2(\mathrm{mod}4)$ и

В каждый такой момент автобусы находятся в одной точке; остаётся определить, в какой именно (в $A\text{,}$ в $B$ или строго между ними).

Пункт а): встречи в пункте $B\text{.}$ Оба автобуса находятся в $B$ (то есть $s=2$) одновременно тогда, когда первый прошёл нечётное число длин дороги, $51t=2(2k+1)\text{,}$ а второй — чётное (вернулся в свой старт $B$), $42t=4m\text{.}$ Из второго условия $t=\frac{2m}{21}\text{;}$ подставляя в первое, получаем

Правая часть нечётна и цела, поэтому $m$ кратно $7\text{,}$ $m=7p\text{,}$ и тогда $17p=2k+1$ — это требует нечётного $p\text{.}$ Наименьшее $p=1$ даёт $m=7\text{,}$ $t=\frac{2\cdot 7}{21}=\frac{2}{3}\text{.}$ Следующие значения отличаются на $\Delta p=2\text{,}$ то есть моменты встреч в $B$ образуют арифметическую прогрессию

(шаг $\frac{4}{3}$ — ровно один период конфигурации). На промежутке движения $0<t\le 8$ сюда попадают

то есть ровно $6$ встреч в пункте $B$ (следующий момент $\frac{26}{3}\approx 8,67$ уже выходит за $8$ часов).

Пункт б): совпадения строго между $A$ и $B\text{.}$ Заметим прежде всего, что одновременно в пункте $A$ автобусы не оказываются никогда: для этого нужно было бы $51t=4k$ (первый в $A$) и $42t=2(2m+1)$ (второй в $A$); исключая $t\text{,}$ приходим к равенству $28k=17(2m+1)\text{,}$ где левая часть чётна, а правая нечётна — противоречие. Значит, среди всех моментов совпадения положений только встречи в $B$ приходятся на концы дороги, а все остальные — строго внутри.

Подсчитаем общее число моментов совпадения на промежутке $0<t\le 8\text{.}$

В случае встречного движения $t=\frac{2+4k}{9}\le 8$ даёт $2+4k\le 72\text{,}$ то есть $k=0,1,\dots ,17$ — всего $18$ моментов.

В случае попутного совпадения $t=\frac{4j-2}{93}\le 8$ даёт $4j-2\le 744\text{,}$ то есть $j=1,2,\dots ,186$ — всего $186$ моментов.

Эти два семейства имеют общие моменты ровно тогда, когда выполнены оба сравнения $u_1\equiv u_2$ и $u_1\equiv -u_2\text{,}$ то есть $2u_2\equiv 0(\mathrm{mod}4)\text{;}$ это и есть случай, когда оба автобуса стоят в концевой точке. Поскольку в $A$ они вместе не бывают, общими являются только $6$ встреч в пункте $B\text{,}$ найденные выше. Поэтому число различных моментов совпадения равно

из них $6$ приходятся на пункт $B$ и ни одного — на пункт $A\text{.}$ Следовательно, строго между $A$ и $B$ автобусы оказываются в одном месте

раз.

Проверка повторяемостью. За один период $\frac{4}{3}$ ч получается $1$ встреча в $B$ и $32$ совпадения строго внутри (так как $6:192=1:32$); умножая на $6$ периодов, входящих в $8$ часов движения, снова получаем $6$ и $192\text{.}$

Ответ. а) $6$ раз; б) $192$ раза.