Длина дороги, соединяющей пункты A и B, равна 2 км. По этой дороге курсируют два автобуса. Достигнув пункта A или пункта B, каждый из автобусов немедленно разворачивается и следует без остановок к другому пункту. Первый автобус движется со скоростью 51 км/ч, а второй — со скоростью 42 км/ч. Сколько раз за время движения автобусы а) встретятся в пункте B; б) окажутся в одном месте строго между пунктами A и B, если известно, что первый стартует из пункта A, а второй — из пункта B?

Введём координату s на дороге, отсчитывая её от пункта A ; тогда A отвечает значению s=0 , а B — значению s=2 (в километрах). Время t будем измерять в часах от момента старта. **Закон движения автобусов.** Каждый автобус движется с постоянной по модулю скоростью, мгновенно разворачиваясь в концах, поэтому его координата есть пилообразная (треугольная) функция времени. Первый автобус выходит из A со скоростью 51 км/ч; его координата s_1(t) равна нулю в моменты, когда пройденный путь 51t кратен 2* 2=4 км (полный цикл «туда-обратно» равен 2* 2=4 км), и равна 2 , когда пройденный путь равен нечётному числу длин дороги. Период этого пилообразного движения равен T_1=(2* 2)/(51)=(4)/(51) ч. Второй автобус выходит из B со скоростью 42 км/ч; его координата s_2(t) имеет период T_2=(2* 2)/(42)=(2)/(21) ч. **Период всей конфигурации.** Оба автобуса одновременно возвращаются в исходное положение (первый — в A , второй — в B ) с исходными направлениями движения тогда, когда время кратно обоим периодам, то есть кратно наименьшему общему кратному T=НОК((4)/(51), (2)/(21))=(4)/(3) ч. Действительно, (T)/(T_1)=(4/3)/(4/51)=17 и (T)/(T_2)=(4/3)/(2/21)=14 — оба целые, а меньшего общего кратного нет. Значит, через каждые (4)/(3) часа картина движения в точности повторяется. По условию задачи автобусы движутся в течение 8 часов, а это ровно (8)/(4/3)=6 полных периодов. Поэтому достаточно подсчитать число встреч за один период и умножить на 6 . **Где и когда совпадают положения автобусов.** Удобно воспользоваться приёмом «развёртки отражений». Сопоставим автобусу, бегающему по отрезку [0;2] , точку, равномерно бегущую по окружности длины 4 (двойная длина дороги); реальная координата получается «складыванием» окружности пополам отображением r(u)=u при 0<= u<= 2 и r(u)=4-u при 2<= u<= 4 . Для первого автобуса фаза на окружности равна u_1=51t +-od 4 (старт в A , u_1(0)=0 ). Для второго, стартующего из B к A , фаза равна u_2=2+42t +-od 4 (проверка: r(2)=2 — это B , и при малых t координата r(2+42t)=2-42t убывает к A ). Два «сложенных» движения совпадают, r(u_1)=r(u_2) , в точности тогда, когда u_1=== u_2 +-od 4 или u_1=== -u_2 +-od 4 . Разберём оба случая. Случай встречного движения: 51t=== 2+42t +-od 4 , то есть (51-42)t=== 2 +-od 4 , откуда 9t=== 2 +-od 4 и t=(2+4k)/(9), k=0,1,2, Случай попутного совпадения: 51t=== -(2+42t) +-od 4 , то есть (51+42)t=== -2 +-od 4 , откуда 93t=== 2 +-od 4 и t=(4j-2)/(93), j=1,2, В каждый такой момент автобусы находятся в одной точке; остаётся определить, в какой именно (в A , в B или строго между ними). **Пункт а): встречи в пункте B .** Оба автобуса находятся в B (то есть s=2 ) одновременно тогда, когда первый прошёл нечётное число длин дороги, 51t=2(2k+1) , а второй — чётное (вернулся в свой старт B ), 42t=4m . Из второго условия t=(2m)/(21) ; подставляя в первое, получаем 51*(2m)/(21)=2(2k+1) (17m)/(7)=2k+1. Правая часть нечётна и цела, поэтому m кратно 7 , m=7p , и тогда 17p=2k+1 — это требует нечётного p . Наименьшее p=1 даёт m=7 , t=(2* 7)/(21)=(2)/(3) . Следующие значения отличаются на p=2 , то есть моменты встреч в B образуют арифметическую прогрессию t=(2)/(3)+(4)/(3)j, j=0,1,2, (шаг (4)/(3) — ровно один период конфигурации). На промежутке движения 0<t<= 8 сюда попадают t=(2)/(3), 2, (10)/(3), (14)/(3), 6, (22)/(3), то есть **ровно 6 встреч в пункте B ** (следующий момент (26)/(3)~ 8,67 уже выходит за 8 часов). **Пункт б): совпадения строго между A и B .** Заметим прежде всего, что одновременно в пункте A автобусы не оказываются никогда: для этого нужно было бы 51t=4k (первый в A ) и 42t=2(2m+1) (второй в A ); исключая t , приходим к равенству 28k=17(2m+1) , где левая часть чётна, а правая нечётна — противоречие. Значит, среди всех моментов совпадения положений только встречи в B приходятся на концы дороги, а все остальные — строго внутри. Подсчитаем общее число моментов совпадения на промежутке 0<t<= 8 . В случае встречного движения t=(2+4k)/(9)<= 8 даёт 2+4k<= 72 , то есть k=0,1,,17 — всего 18 моментов. В случае попутного совпадения t=(4j-2)/(93)<= 8 даёт 4j-2<= 744 , то есть j=1,2,,186 — всего 186 моментов. Эти два семейства имеют общие моменты ровно тогда, когда выполнены оба сравнения u_1=== u_2 и u_1=== -u_2 , то есть 2u_2=== 0 +-od 4 ; это и есть случай, когда оба автобуса стоят в концевой точке. Поскольку в A они вместе не бывают, общими являются только 6 встреч в пункте B , найденные выше. Поэтому число различных моментов совпадения равно 18+186-6=198, из них 6 приходятся на пункт B и ни одного — на пункт A . Следовательно, строго между A и B автобусы оказываются в одном месте 198-6=192 раз. **Проверка повторяемостью.** За один период (4)/(3) ч получается 1 встреча в B и 32 совпадения строго внутри (так как 6:192=1:32 ); умножая на 6 периодов, входящих в 8 часов движения, снова получаем 6 и 192 . **Ответ.** а) 6 раз; б) 192 раза.

а) 6; б) 192