Решить систему уравнений cases_2 xy*_(4x) y=2, 8x-y=1.cases

Требуется решить систему cases_2 xy*_(4x) y=2, 8x-y=1.cases **Область допустимых значений.** Для существования логарифмов нужно: - xy>0 (аргумент _2 xy); - y>0 (аргумент _(4x) y); - основание второго логарифма положительно и отлично от единицы: 4x>0 и 4x!= 1, то есть x>0 и x!=14. Так как x>0, из условия y>0 и xy>0 выполняются автоматически. Итак, ОДЗ задаётся условиями x>0, x!=14, y>0. **Перевод первого уравнения в удобные переменные.** Введём u=_2 x и v=_2 y. Тогда _2 xy=_2 x+_2 y=u+v, а по формуле перехода к основанию 2 _(4x) y=(_2 y)/(_2 (4x))=(v)/(2+u), причём _2(4x)=2+u!= 0, поскольку x!=14. Первое уравнение принимает вид (u+v)*(v)/(2+u)=2. Умножим обе части на 2+u!= 0: (u+v)v=2(2+u), то есть uv+v^(2)=4+2u uv-2u+v^(2)-4=0. Сгруппируем и разложим на множители: u(v-2)+(v-2)(v+2)=0 (v-2)(u+v+2)=0. Получаем две возможности. **Случай A: v-2=0, то есть v=2.** Тогда _2 y=2, значит y=4. Подставляя во второе уравнение системы 8x-y=1: 8x-4=1 8x=5 x=58. Проверим ОДЗ: x=58>0 и x!=14 — выполнено; y=4>0 — выполнено. Пара (58;4) допустима. **Случай B: u+v+2=0, то есть _2 x+_2 y=-2.** Это равносильно _2(xy)=-2, откуда xy=14. Из второго уравнения y=8x-1. Подставляем: x(8x-1)=14 8x^(2)-x-14=0 32x^(2)-4x-1=0. Дискриминант D=16+128=144, корни x=(4+- 12)/(64) x=(16)/(64)=14 или x=(-8)/(64)=-18. Оба корня посторонние: - x=-18<0 — нарушает условие x>0 (основание 4x должно быть положительным); - x=14 — даёт основание 4x=1, при котором логарифм _(4x) y не определён (и явно исключено в ОДЗ). Следовательно, случай B не даёт ни одного допустимого решения. **Итог.** Единственное решение системы — пара (58; 4).

\(\left(\frac{5}{8};\ 4\right)\)