Задача №18186

Решить систему уравнений

$$\{\begin{array}{l}{\log }_{2}xy\cdot {\log }_{4x}y=2,\\ 8x-y=1.\end{array}$$

Требуется решить систему

$$\{\begin{array}{l}{\log }_{2}xy\cdot {\log }_{4x}y=2,\\ 8x-y=1.\end{array}$$

Область допустимых значений. Для существования логарифмов нужно:

• $xy>0$ (аргумент ${\log }_{2}xy$);
• $y>0$ (аргумент ${\log }_{4x}y$);
• основание второго логарифма положительно и отлично от единицы: $4x>0$ и $4x\ne 1\text{,}$ то есть $x>0$ и $x\ne \frac{1}{4}\text{.}$

Так как $x>0\text{,}$ из условия $y>0$ и $xy>0$ выполняются автоматически. Итак, ОДЗ задаётся условиями

$$x>0,x\ne \frac{1}{4},y>0.$$

Перевод первого уравнения в удобные переменные. Введём $u={\log }_{2}x$ и $v={\log }_{2}y\text{.}$ Тогда

$${\log }_{2}xy={\log }_{2}x+{\log }_{2}y=u+v,$$

а по формуле перехода к основанию $2$

$${\log }_{4x}y=\frac{{\log }_{2}y}{{\log }_2(4x)}=\frac{v}{2+u},$$

причём ${\log }_2(4x)=2+u\ne 0\text{,}$ поскольку $x\ne \frac{1}{4}\text{.}$ Первое уравнение принимает вид

$$(u+v)\cdot \frac{v}{2+u}=2.$$

Умножим обе части на $2+u\ne 0\text{:}$

$$(u+v)v=2(2+u),$$

то есть

$$uv+v^2=4+2u⟺uv-2u+v^2-4=0.$$

Сгруппируем и разложим на множители:

$$u(v-2)+(v-2)(v+2)=0⟺(v-2)(u+v+2)=0.$$

Получаем две возможности.

Случай A: $v-2=0\text{,}$ то есть $v=2\text{.}$ Тогда ${\log }_{2}y=2\text{,}$ значит $y=4\text{.}$ Подставляя во второе уравнение системы $8x-y=1\text{:}$

$$8x-4=1⟹8x=5⟹x=\frac{5}{8}.$$

Проверим ОДЗ: $x=\frac{5}{8}>0$ и $x\ne \frac{1}{4}$ — выполнено; $y=4>0$ — выполнено. Пара $\left(\frac{5}{8};4\right)$ допустима.

Случай B: $u+v+2=0\text{,}$ то есть ${\log }_{2}x+{\log }_{2}y=-2\text{.}$ Это равносильно ${\log }_2(xy)=-2\text{,}$ откуда

$$xy=\frac{1}{4}.$$

Из второго уравнения $y=8x-1\text{.}$ Подставляем:

$$x(8x-1)=\frac{1}{4}⟹8x^2-x-\frac{1}{4}=0⟹32x^2-4x-1=0.$$

Дискриминант $D=16+128=144\text{,}$ корни

$$x=\frac{4\pm 12}{64}⟹x=\frac{16}{64}=\frac{1}{4}\text{или}x=\frac{-8}{64}=-\frac{1}{8}.$$

Оба корня посторонние:

• $x=-\frac{1}{8}<0$ — нарушает условие $x>0$ (основание $4x$ должно быть положительным);
• $x=\frac{1}{4}$ — даёт основание $4x=1\text{,}$ при котором логарифм ${\log }_{4x}y$ не определён (и явно исключено в ОДЗ).

Следовательно, случай B не даёт ни одного допустимого решения.

Итог. Единственное решение системы — пара

$$\boxed{\left(\frac{5}{8};4\right)}.$$