Задача №18185

Решить неравенство

$$2\sqrt{5\cdot 6^x-2\cdot 9^x-3\cdot 4^x}+3^x<2^{x+1}.$$

Перепишем все показательные выражения через $u=2^x>0$ и $v=3^x>0\text{.}$ Так как $6^x=2^x{3}^x=uv\text{,}$ $9^x=(3^x{)}^2=v^2\text{,}$ $4^x=(2^x{)}^2=u^2\text{,}$ подкоренное выражение принимает вид

$$5\cdot 6^x-2\cdot 9^x-3\cdot 4^x=5uv-2v^2-3u^2=-(u-v)(3u-2v)=(u-v)(2v-3u).$$

Правая часть тоже выражается через $u,v\text{:}$ $2^{x+1}=2\cdot 2^x=2u\text{,}$ а $3^x=v\text{,}$ поэтому неравенство равносильно

$$2\sqrt{(u-v)(2v-3u)}+v<2u,\text{то есть}2\sqrt{(u-v)(2v-3u)}<2u-v.$$

Одна переменная. Разделим обе части на $u=2^x>0$ и введём $t=\frac{v}{u}=\frac{3^x}{2^x}={\left(\frac{3}{2}\right)}^x\text{.}$ Тогда $t>0\text{,}$ а так как функция $t=(3/2{)}^x$ строго возрастает, замена обратима: каждому $t>0$ отвечает единственное $x={\log }_{3/2}t\text{.}$ Поделив подкоренное выражение на $u^2\text{,}$ получаем $\frac{(u-v)(2v-3u)}{u^2}=(1-t)(2t-3)\text{,}$ а правую часть — на $u\text{:}$ $\frac{2u-v}{u}=2-t\text{.}$ Неравенство приобретает вид

$$2\sqrt{(1-t)(2t-3)}<2-t.$$

Область определения. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$(1-t)(2t-3)⩾0⟺(t-1)(2t-3)⩽0⟺1⩽t⩽\frac{3}{2}.$$

На этом отрезке правая часть $2-t\in \left[\frac{1}{2};1\right]$ строго положительна (ведь $t⩽\frac{3}{2}<2$). Левая часть неотрицательна как удвоенный арифметический корень. Значит, обе части неотрицательны, и неравенство равносильно неравенству для их квадратов.

Возведение в квадрат. Возводя в квадрат при $t\in \left[1;\frac{3}{2}\right]\text{,}$ получаем равносильное неравенство

$$4(1-t)(2t-3)<(2-t{)}^2.$$

Раскроем скобки. Слева $4(1-t)(2t-3)=4(-2t^2+5t-3)=-8t^2+20t-12\text{;}$ справа $(2-t{)}^2=t^2-4t+4\text{.}$ Перенося всё вправо,

$$0<(t^2-4t+4)-(-8t^2+20t-12)=9t^2-24t+16=(3t-4{)}^2.$$

Итак, на области определения исходное неравенство равносильно условию

$$(3t-4{)}^2>0⟺t\ne \frac{4}{3}.$$

Решение в переменной $t\text{.}$ Пересекая с областью определения $t\in \left[1;\frac{3}{2}\right]\text{,}$ получаем

$$t\in \left[1;\frac{4}{3}\right)\cup \left(\frac{4}{3};\frac{3}{2}\right].$$

Точка $t=\frac{4}{3}$ лежит внутри отрезка $\left[1;\frac{3}{2}\right]$ (так как $1<\frac{4}{3}<\frac{3}{2}$) и исключается: в ней $(3t-4{)}^2=0\text{,}$ то есть достигается равенство $2\sqrt{(1-t)(2t-3)}=2-t\text{,}$ а неравенство строгое.

Возврат к $x\text{.}$ Поскольку $t={\left(\frac{3}{2}\right)}^x$ строго возрастает по $x\text{,}$ неравенства между значениями $t$ переходят в такие же неравенства между значениями $x\text{.}$ Граничным значениям $t$ отвечают

$$t=1⟺x={\log }_{3/2}1=0,t=\frac{4}{3}⟺x={\log }_{3/2}\frac{4}{3},t=\frac{3}{2}⟺x={\log }_{3/2}\frac{3}{2}=1.$$

Включения концов сохраняются: $x=0$ и $x=1$ входят в ответ (там $t=1$ и $t=\frac{3}{2}$ допустимы, неравенство выполнено), а $x={\log }_{3/2}\frac{4}{3}$ исключается. Следовательно,

$$x\in \left[0;{\log }_{3/2}\frac{4}{3}\right)\cup \left({\log }_{3/2}\frac{4}{3};1\right].$$

Проверка концов и особой точки. При $x=0$ и при $x=1$ подкоренное выражение обращается в нуль (это концы области определения), и неравенство принимает вид $0+3^x<2^{x+1}\text{,}$ то есть $1<2$ и $3<4$ соответственно — оба верны, поэтому концы включены. В точке $x^{\ast }={\log }_{3/2}\frac{4}{3}\approx 0,7095$ подкоренное выражение положительно, но левая и правая части равны (равенство в $(3t-4{)}^2⩾0$), так что строгое неравенство не выполняется и точка выколота.

$$\boxed{x\in \left[0;{\log }_{3/2}\frac{4}{3}\right)\cup \left({\log }_{3/2}\frac{4}{3};1\right]}$$