Решить неравенство 2sqrt(5* 6^x-2* 9^x-3* 4^x)+3^x<2^(x+1).

Перепишем все показательные выражения через u=2^x>0 и v=3^x>0. Так как 6^x=2^x3^x=uv, 9^x=(3^x)^2=v^2, 4^x=(2^x)^2=u^2, подкоренное выражение принимает вид 5* 6^x-2* 9^x-3* 4^x=5uv-2v^2-3u^2=-(u-v)(3u-2v)=(u-v)(2v-3u). Правая часть тоже выражается через u,v: 2^(x+1)=2* 2^x=2u, а 3^x=v, поэтому неравенство равносильно 2sqrt((u-v)(2v-3u))+v<2u, то есть 2sqrt((u-v)(2v-3u))<2u-v. **Одна переменная.** Разделим обе части на u=2^x>0 и введём t=(v)/(u)=(3^x)/(2^x)=(32)^x. Тогда t>0, а так как функция t=(3/2)^x строго возрастает, замена обратима: каждому t>0 отвечает единственное x=_(3/2)t. Поделив подкоренное выражение на u^2, получаем ((u-v)(2v-3u))/(u^2)=(1-t)(2t-3), а правую часть — на u: (2u-v)/(u)=2-t. Неравенство приобретает вид 2sqrt((1-t)(2t-3))<2-t. **Область определения.** Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: (1-t)(2t-3) 0 (t-1)(2t-3) 0 1 t 32. На этом отрезке правая часть 2-tin[12;1] строго положительна (ведь t32<2). Левая часть неотрицательна как удвоенный арифметический корень. Значит, обе части неотрицательны, и неравенство равносильно неравенству для их квадратов. **Возведение в квадрат.** Возводя в квадрат при tin[1;32], получаем равносильное неравенство 4(1-t)(2t-3)<(2-t)^2. Раскроем скобки. Слева 4(1-t)(2t-3)=4(-2t^2+5t-3)=-8t^2+20t-12; справа (2-t)^2=t^2-4t+4. Перенося всё вправо, 0<(t^2-4t+4)-(-8t^2+20t-12)=9t^2-24t+16=(3t-4)^2. Итак, на области определения исходное неравенство равносильно условию (3t-4)^2>0 t!=43. **Решение в переменной t.** Пересекая с областью определения tin[1;32], получаем tin[1; 43)U(43; 32]. Точка t=43 лежит внутри отрезка [1;32] (так как 1<43<32) и исключается: в ней (3t-4)^2=0, то есть достигается равенство 2sqrt((1-t)(2t-3))=2-t, а неравенство строгое. **Возврат к x.** Поскольку t=(32)^x строго возрастает по x, неравенства между значениями t переходят в такие же неравенства между значениями x. Граничным значениям t отвечают t=1 x=_(3/2)1=0, t=43 x=_(3/2)43, t=32 x=_(3/2)32=1. Включения концов сохраняются: x=0 и x=1 входят в ответ (там t=1 и t=32 допустимы, неравенство выполнено), а x=_(3/2)43 исключается. Следовательно, xin[0; _(3/2)43)U(_(3/2)43; 1]. **Проверка концов и особой точки.** При x=0 и при x=1 подкоренное выражение обращается в нуль (это концы области определения), и неравенство принимает вид 0+3^x<2^(x+1), то есть 1<2 и 3<4 соответственно — оба верны, поэтому концы включены. В точке x^(*)=_(3/2)43~0,7095 подкоренное выражение положительно, но левая и правая части равны (равенство в (3t-4)^2 0), так что строгое неравенство не выполняется и точка выколота. xin[0; _(3/2)43)U(_(3/2)43; 1]

\(\left[0;\ \log_{3/2}\frac{4}{3}\right)\cup\left(\log_{3/2}\frac{4}{3};\ 1\right]\)