Найдите все значения a, для которых неравенство _5(acos 2x+(1+a^2-sin^2 x)cos x+4+a) 1 выполняется при всех x.

Обозначим аргумент логарифма через E(x): E(x)=acos 2x+(1+a^2-sin^2 x)cos x+4+a. Неравенство _5 E 1 равносильно двойному условию на E: логарифм определён, когда E>0, а _5 E 1=_5 5 (логарифм с основанием 5>1 возрастает) даёт E 5. Итак, требуется, чтобы при всех x выполнялось 0<E(x) 5. **Сведение к многочлену от cos x.** Воспользуемся формулами cos 2x=2cos^2 x-1 и sin^2 x=1-cos^2 x. Положим c=cos x. Тогда E=a(2c^2-1)+(1+a^2-(1-c^2))c+4+a=2ac^2-a+(a^2+c^2)c+4+a, E=c^3+2ac^2+a^2c+4=c(c^2+2ac+a^2)+4=c(c+a)^2+4. Поскольку c=cos x при изменении x пробегает в точности весь отрезок [-1;1], условие «при всех x» равносильно условию «при всех cin[-1;1]». Введём g(c)=c(c+a)^2, E=g(c)+4. Нужно: g(c)>-4 и g(c) 1 при всех cin[-1;1], то есть _([-1;1])g(c)>-4 и _([-1;1])g(c) 1. **Исследование g на отрезке.** Найдём критические точки: g'(c)=(c+a)^2+c* 2(c+a)=(c+a)(3c+a), откуда c=-a и c=-(a)/(3). Значения: g(-a)=0, g(-(a)/(3))=-(a)/(3)((2a)/(3))^2=-(4a^3)/(27), g(1)=(1+a)^2, g(-1)=-1*(-1+a)^2=-(1-a)^2. Так как старший коэффициент g положителен, g' меняет знак «+,-,+»: g возрастает до меньшего корня, убывает между корнями и снова возрастает после большего корня; значит в меньшем корне — локальный максимум, в большем — локальный минимум. Покажем, что искомый набор лежит в области a 0. Если a>0, то правый конец даёт g(1)=(1+a)^2>1, и условие g 1 нарушается. Поэтому далее считаем a 0; тогда оба корня неотрицательны, -(a)/(3) -a, оба лежат в [-1;1], причём c=-(a)/(3) — точка локального максимума, а c=-a — локального минимума со значением g(-a)=0. Минимум на отрезке. Кандидаты — левый конец c=-1 (значение -(1-a)^2 0) и локальный минимум c=-a (значение 0). Меньшее из них — g(-1)=-(1-a)^2. Значит _([-1;1])g=-(1-a)^2. Условие g>-4: -(1-a)^2>-4 (1-a)^2<4 -2<1-a<2 -1<a<3. Максимум на отрезке. Кандидаты — локальный максимум c=-(a)/(3) (значение -(4a^3)/(27) 0 при a 0) и правый конец c=1 (значение (1+a)^2). Условие g 1 означает выполнение обоих неравенств: (1+a)^2 1 -2 a 0, -(4a^3)/(27) 1 a^3 -(27)/(4) a -(3)/([3]4)~-1,89. **Пересечение условий.** Собираем все ограничения при a 0: -1<a<3 (нижнее), -2 a 0, a -(3)/([3]4). Последнее ограничение a -1,89 автоматически выполнено, так как уже a>-1. Остаётся -1<a 0. **Проверка концов.** При a=0: E=c^3+4, cin[-1;1], значит Ein[3;5], наибольшее значение E=5 достигается при c=1; тогда _5 5=1 1 — годится, поэтому a=0 входит. При a=-1: g(-1)=-(1-(-1))^2=-4, то есть E=0 при c=-1 (x=pi), логарифм не определён — a=-1 не входит. Случай a>0 исключён выше. Итак, неравенство выполняется при всех x тогда и только тогда, когда ain(-1;0].

\(a\in(-1;\,0]\)