Задача №18062

При каких значениях $a\text{,}$ принадлежащих интервалу $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)\text{,}$ уравнение

$$\sqrt{2\sin (x-a)+\sqrt{3}}=\cos 6x-1$$

имеет решения?

Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{2\sin (x-a)+\sqrt{3}}=\cos 6x-1.$$

Оценка обеих частей. Левая часть — это арифметический квадратный корень, поэтому она определена и неотрицательна:

$$\sqrt{2\sin (x-a)+\sqrt{3}}⩾0.$$

Правая часть, наоборот, неположительна, так как $\cos 6x⩽1$ при всех $x\text{:}$

$$\cos 6x-1⩽0.$$

Левая часть не меньше нуля, а правая не больше нуля, и при этом они равны. Это возможно лишь тогда, когда обе части одновременно обращаются в нуль. Значит, исходное уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}2\sin (x-a)+\sqrt{3}=0,\\ \cos 6x-1=0.\end{array}$$

Второе условие. Из $\cos 6x=1$ получаем $6x=2\pi k\text{,}$ то есть

$$x=\frac{\pi k}{3},k\in \mathbb{Z}.$$

Заметим, что для таких $x$ подкоренное выражение под корнем автоматически равно нулю в силу первого уравнения, так что вопрос об области определения (неотрицательности подкоренного выражения) решается одновременно: при выполнении первого равенства подкоренное выражение равно $0⩾0$ — корень определён.

Первое условие. Из $2\sin (x-a)+\sqrt{3}=0$ находим

$$\sin (x-a)=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Это даёт две серии:

$$x-a=-\frac{\pi }{3}+2\pi m\text{или}x-a=-\frac{2\pi }{3}+2\pi m,m\in \mathbb{Z}$$

(поскольку на окружности $\sin t=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ при $t=-\frac{\pi }{3}$ и при $t=-\frac{2\pi }{3}$ с точностью до $2\pi$).

Совмещение условий. Уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда найдётся целое $k$ и подходящая серия, при которых равенства совместны. Подставляя $x=\frac{\pi k}{3}$ в обе серии, выразим $a\text{:}$

в первом случае

$$a=\frac{\pi k}{3}+\frac{\pi }{3}-2\pi m=\frac{\pi (k+1)}{3}-2\pi m,$$

во втором случае

$$a=\frac{\pi k}{3}+\frac{2\pi }{3}-2\pi m=\frac{\pi (k+2)}{3}-2\pi m.$$

В обоих случаях $a$ оказывается целым кратным $\frac{\pi }{3}\text{.}$ Обратно, если $a=\frac{\pi j}{3}$ при некотором целом $j\text{,}$ то, взяв $x=a-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi (j-1)}{3}$ (это число вида $\frac{\pi k}{3}$), получаем $\sin (x-a)=\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ и одновременно $\cos 6x=\cos (2\pi (j-1))=1\text{;}$ обе части уравнения равны нулю, то есть решение существует.

Итак, уравнение имеет решение в точности тогда, когда

$$a=\frac{\pi j}{3},j\in \mathbb{Z}.$$

Отбор по условию $a\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)\text{.}$ Из чисел вида $\frac{\pi j}{3}$ в интервал $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ попадают только

$$a=-\frac{\pi }{3}(j=-1),a=0(j=0),a=\frac{\pi }{3}(j=1),$$

поскольку уже при $j=\pm 2$ получаем $a=\pm \frac{2\pi }{3}\text{,}$ что выходит за границы интервала.

Ответ: $a=-\frac{\pi }{3},a=0,a=\frac{\pi }{3}.$