При каких значениях a, принадлежащих интервалу (-(pi)/(2);(pi)/(2)), уравнение sqrt(2sin(x-a)+3)=cos 6x-1 имеет решения?

Рассмотрим уравнение sqrt(2sin(x-a)+3)=cos 6x-1. **Оценка обеих частей.** Левая часть — это арифметический квадратный корень, поэтому она определена и неотрицательна: sqrt(2sin(x-a)+3) 0. Правая часть, наоборот, неположительна, так как cos 6x 1 при всех x: cos 6x-1 0. Левая часть не меньше нуля, а правая не больше нуля, и при этом они равны. Это возможно лишь тогда, когда обе части одновременно обращаются в нуль. Значит, исходное уравнение равносильно системе cases2sin(x-a)+sqrt(3)=0, 6x-1=0.cases **Второе условие.** Из cos 6x=1 получаем 6x=2pi k, то есть x=(pi k)/(3), kinZ. Заметим, что для таких x подкоренное выражение под корнем автоматически равно нулю в силу первого уравнения, так что вопрос об области определения (неотрицательности подкоренного выражения) решается одновременно: при выполнении первого равенства подкоренное выражение равно 0 0 — корень определён. **Первое условие.** Из 2sin(x-a)+sqrt(3)=0 находим sin(x-a)=-(sqrt(3))/(2). Это даёт две серии: x-a=-(pi)/(3)+2pi m или x-a=-(2pi)/(3)+2pi m, minZ (поскольку на окружности sin t=-(3)/(2) при t=-(pi)/(3) и при t=-(2pi)/(3) с точностью до 2pi). **Совмещение условий.** Уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда найдётся целое k и подходящая серия, при которых равенства совместны. Подставляя x=(pi k)/(3) в обе серии, выразим a: в первом случае a=(pi k)/(3)+(pi)/(3)-2pi m=(pi(k+1))/(3)-2pi m, во втором случае a=(pi k)/(3)+(2pi)/(3)-2pi m=(pi(k+2))/(3)-2pi m. В обоих случаях a оказывается целым кратным (pi)/(3). Обратно, если a=(pi j)/(3) при некотором целом j, то, взяв x=a-(pi)/(3)=(pi(j-1))/(3) (это число вида (pi k)/(3)), получаем sin(x-a)=sin(-(pi)/(3))=-(3)/(2) и одновременно cos 6x=cos(2pi(j-1))=1; обе части уравнения равны нулю, то есть решение существует. Итак, уравнение имеет решение в точности тогда, когда a=(pi j)/(3), jinZ. **Отбор по условию ain(-(pi)/(2);(pi)/(2)).** Из чисел вида (pi j)/(3) в интервал (-(pi)/(2);(pi)/(2)) попадают только a=-(pi)/(3) (j=-1), a=0 (j=0), a=(pi)/(3) (j=1), поскольку уже при j=+-2 получаем a=+-(2pi)/(3), что выходит за границы интервала. **Ответ:** a=-(pi)/(3), a=0, a=(pi)/(3).

\(-\frac{\pi}{3};\ 0;\ \frac{\pi}{3}\)