Задача №18061

В равнобокой трапеции диагональ имеет длину 8 и является биссектрисой одного из углов. Может ли одно из оснований этой трапеции быть меньше 4, если другое равно 5?

Обозначим равнобокую трапецию $ABCD$ с основаниями $BC\parallel AD\text{,}$ где $AD$ — большее основание, $BC$ — меньшее, а боковые стороны равны: $AB=CD\text{.}$ Пусть диагональ $AC=8$ является биссектрисой угла трапеции. Диагональ выходит из вершины большего основания $A$ и делит угол $A\text{,}$ то есть $\angle DAC=\angle CAB\text{.}$

Шаг 1. Биссектриса диагонали влечёт равенство боковой стороны и меньшего основания.

Так как $BC\parallel AD\text{,}$ углы $\angle CAD$ и $\angle ACB$ — накрест лежащие при секущей $AC\text{,}$ поэтому $\angle ACB=\angle CAD\text{.}$ Но по условию $\angle CAD=\angle CAB\text{,}$ значит

В треугольнике $ABC$ равны два угла при основании $AC\text{,}$ следовательно он равнобедренный, и против равных углов лежат равные стороны:

Итак, боковая сторона равна меньшему основанию. Обозначим меньшее основание $BC=b$ (тогда и боковая сторона равна $b$), а большее основание $AD=a\text{,}$ причём $a>b>0\text{.}$

Шаг 2. Связь между основаниями и диагональю.

Введём координаты. Положим большее основание на оси абсцисс: $A=(0,0)\text{,}$ $D=(a,0)\text{.}$ В силу равнобокости меньшее основание расположено симметрично на высоте $h\text{:}$

Равенство боковой стороны меньшему основанию, $AB=b\text{,}$ даёт высоту:

Длина диагонали $AC$ равна

Раскрывая, замечаем, что ${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2=ab\text{,}$ поэтому получается очень простая формула:

По условию $AC=8\text{,}$ значит

Шаг 3. Условие существования трапеции.

Трапеция существует (имеет положительную высоту и является именно трапецией, а не вырожденной фигурой), когда $h^2>0\text{.}$ Из $h^2=b^2-{\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2>0$ следует ${\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2<b^2\text{,}$ то есть $a-b<2b\text{,}$ откуда

Кроме того, для собственной трапеции основания различны: $a>b\text{.}$

Шаг 4. Оценка меньшего основания.

Подставим неравенство существования $(2)$ в соотношение $(1)\text{.}$ Так как $a<3b\text{,}$ то $a+b<4b\text{,}$ и

откуда

Таким образом меньшее основание всегда больше 4. Следовательно, и тем более большее основание больше 4. Значит, ни одно из оснований такой трапеции не может быть меньше 4 — независимо от того, чему равно второе основание.

Шаг 5. Случай, когда одно из оснований равно 5.

Покажем явно, что число 5 в качестве основания возможно только для меньшего основания. Если бы $5$ было бо́льшим основанием ($a=5$), то из $(1)\text{:}$ $b(5+b)=64\text{,}$ то есть $b^2+5b-64=0\text{,}$ откуда $b=\frac{-5+\sqrt{281}}{2}\approx 5,88\text{.}$ Но тогда $b>a=5\text{,}$ что противоречит выбору $b$ как меньшего основания. Значит, $a=5$ невозможно.

Остаётся случай, когда $5$ — меньшее основание: $b=5\text{.}$ Это значение допустимо, так как $4<5<4\sqrt{2}\approx 5,66$ (правая граница из $a>b\text{:}$ из $(1)$ условие $a>b$ равносильно $b^2<32$). Тогда из $(1)\text{:}$

Итак, единственная трапеция с указанными свойствами и основанием 5 имеет второе основание $7,8\text{.}$

Вывод. Второе основание оказалось равным $7,8\text{,}$ что заведомо больше 4. Более того, как показано в шаге 4, любое основание такой трапеции строго больше 4. Поэтому одно из оснований не может быть меньше 4.

Ответ: нет.