Сумма первых 7 членов геометрической прогрессии равна её первому члену, умноженному на 7, а сумма первого, восьмого и пятнадцатого членов равна 15. Найдите сумму первых 21 членов этой прогрессии.

Обозначим первый член прогрессии через b , а знаменатель через q . Тогда n -й член равен a_n = bq^(n-1) . **Ключевая идея.** Разобьём сумму первого 21 члена на три последовательных блока по 7 членов: S_(21)=(a_1+a_2++a_7)_(члены 1..7)+(a_8+a_9++a_(14))_(члены 8..14)+(a_(15)+a_(16)++a_(21))_(члены 15..21). Каждый член второго блока получается из соответствующего члена первого умножением на q^7 (ведь a_(8)=a_1 q^7, a_9=a_2 q^7, ), а каждый член третьего блока — умножением на q^(14) . Обозначив сумму первых семи членов через S_7=a_1++a_7 , получаем a_8++a_(14)=q^(7)S_7, a_(15)++a_(21)=q^(14)S_7, и поэтому S_(21)=S_7(1+q^(7)+q^(14)). Это тождество верно при любом q (в том числе при q=1 ), так как оно не использует формулу суммы, а лишь группировку слагаемых. **Используем условия задачи.** Первое условие: сумма первых семи членов равна первому члену, умноженному на 7: S_7=7a_1=7b. Второе условие: сумма первого, восьмого и пятнадцатого членов равна 15. Поскольку a_1=b, a_8=bq^(7), a_(15)=bq^(14) , имеем a_1+a_8+a_(15)=b(1+q^(7)+q^(14))=15. **Собираем ответ.** Подставим S_7=7b в тождество для S_(21) : S_(21)=S_7(1+q^(7)+q^(14))=7b(1+q^(7)+q^(14))=7*[b(1+q^(7)+q^(14))]=7* 15=105. Заметим, что мы ни разу не делили на q-1 и не предполагали q!= 1 , поэтому выкладка корректна для любой геометрической прогрессии, удовлетворяющей условиям. **О существовании такой прогрессии.** Условие S_7=7b при b!= 0 означает 1+q+q^2++q^6=7 , то есть q^(7)-7q+6=0 . Это уравнение раскладывается как (q-1)^2(q^(5)+2q^(4)+3q^(3)+4q^(2)+5q+6)=0 и кроме q=1 имеет вещественный корень q~-1,492 (а также комплексные). Значит, помимо тривиального случая q=1 (когда все члены равны и из 3b=15 следует b=5 ), существуют и неvyроzhdennye прогрессии; во всех случаях значение второго и третьего блоков жёстко не фиксируется по отдельности, но их сумма всегда даёт один и тот же результат. **Ответ:** сумма первого 21 члена равна S_(21)=105.

\(105\)