Задача №18060

Сумма первых 7 членов геометрической прогрессии равна её первому члену, умноженному на 7, а сумма первого, восьмого и пятнадцатого членов равна 15. Найдите сумму первых 21 членов этой прогрессии.

Обозначим первый член прогрессии через $b\text{,}$ а знаменатель через $q\text{.}$ Тогда $n$-й член равен $a_n=b{q}^{n-1}\text{.}$

Ключевая идея. Разобьём сумму первого 21 члена на три последовательных блока по 7 членов:

Каждый член второго блока получается из соответствующего члена первого умножением на $q^7$ (ведь $a_8=a_1{q}^7,a_9=a_2{q}^7,\dots$), а каждый член третьего блока — умножением на $q^{14}\text{.}$ Обозначив сумму первых семи членов через $S_7=a_1+\cdots +a_7\text{,}$ получаем

и поэтому

Это тождество верно при любом $q$ (в том числе при $q=1$), так как оно не использует формулу суммы, а лишь группировку слагаемых.

Используем условия задачи.

Первое условие: сумма первых семи членов равна первому члену, умноженному на 7:

Второе условие: сумма первого, восьмого и пятнадцатого членов равна 15. Поскольку $a_1=b,a_8=b{q}^7,a_{15}=b{q}^{14}\text{,}$ имеем

Собираем ответ. Подставим $S_7=7b$ в тождество для $S_{21}\text{:}$

Заметим, что мы ни разу не делили на $q-1$ и не предполагали $q\ne 1\text{,}$ поэтому выкладка корректна для любой геометрической прогрессии, удовлетворяющей условиям.

О существовании такой прогрессии. Условие $S_7=7b$ при $b\ne 0$ означает $1+q+q^2+\cdots +q^6=7\text{,}$ то есть $q^7-7q+6=0\text{.}$ Это уравнение раскладывается как $(q-1{)}^2\left(q^5+2q^4+3q^3+4q^2+5q+6\right)=0$ и кроме $q=1$ имеет вещественный корень $q\approx -1,492$ (а также комплексные). Значит, помимо тривиального случая $q=1$ (когда все члены равны и из $3b=15$ следует $b=5$), существуют и невырожденные прогрессии; во всех случаях значение второго и третьего блоков жёстко не фиксируется по отдельности, но их сумма всегда даёт один и тот же результат.

Ответ: сумма первого 21 члена равна