Плоскость pi проходит через три вершины прямоугольного параллелепипеда, отсекая от него тетраэдр. Два шара максимально возможных радиусов находятся внутри сферы, описанной около этого параллелепипеда, по разные стороны от плоскости pi. Найдите отношение радиусов этих шаров, если известно, что рёбра параллелепипеда равны 1, sqrt(2), 2.

Пусть _1 и _2 — две касательные плоскости к сфере, параллельные pi, и пусть T_1 и T_2 — соответствующие точки касания. Тогда центр сферы O совпадает с серединой отрезка T_1T_2. Пусть T — точка пересечения T_1T_2 с плоскостью pi. Пусть B_1 — шар, находящийся между _1 и pi, а B_2 — шар, находящийся между _2 и pi. Тогда диаметры B_1 и B_2 не могут превышать расстояния между _1 и pi и между _2 и pi соответственно. Причём равенство достигается ровно в одном случае — когда отрезки TT_1 и TT_2 суть соответственно диаметры B_1 и B_2. Следовательно, искомое отношение равно TT_1/TT_2. Не ограничивая общности, можно считать, что TT_1 TT_2. Тогда, если обозначить через R радиус сферы и через r — расстояние от точки O до плоскости pi, то (TT_1)/(TT_2)=(R+r)/(R-r)=(R/r+1)/(R/r-1). Найдём R/r. Пусть A, B, C — вершины параллелепипеда, через которые проходит плоскость pi, и пусть D — четвёртая вершина отсекаемого тетраэдра. Пусть AD=a, BD=b, CD=c. Поскольку плоскость pi делит диагональ параллелепипеда, исходящую из вершины D, в отношении 1:2, расстояние от O до pi в два раза меньше расстояния от D до pi. Стало быть, объём тетраэдра ABCD равен одновременно (1)/(3)* 2r* S( ABC) и (1)/(6)abc. Для площади S( ABC) справедливо S( ABC)=sqrt(S( ABD)^2+S( BCD)^2+S( ACD)^2)=sqrt((1)/(4)((ab)^2+(bc)^2+(ac)^2)), то есть r=(abc)/(4S( ABC))=(1)/(2sqrt(1a^2+1b^2+1c^2)). Учитывая, что R=OD=(1)/(2)sqrt(a^2+b^2+c^2), получаем R/r=sqrt(a^2+b^2+c^2)*sqrt((1)/(a^2)+(1)/(b^2)+(1)/(c^2))=sqrt(1+2+4)*sqrt(1+(1)/(2)+(1)/(4))=7/2. Стало быть, искомое отношение равно (TT_1)/(TT_2)=(7/2+1)/(7/2-1)=9/5.

9 : 5