Плоскость π проходит через три вершины прямоугольного параллелепипеда, отсекая от него тетраэдр. Два шара максимально возможных радиусов находятся внутри сферы, описанной около этого параллелепипеда, по разные стороны от плоскости π. Найдите отношение радиусов этих шаров, если известно, что рёбра параллелепипеда равны 1, 2, 2.
Пусть π1 и π2 — две касательные плоскости к сфере, параллельные π, и пусть T1 и T2 — соответствующие точки касания. Тогда центр сферы O совпадает с серединой отрезка T1T2. Пусть T — точка пересечения T1T2 с плоскостью π. Пусть B1 — шар, находящийся между π1 и π, а B2 — шар, находящийся между π2 и π. Тогда диаметры B1 и B2 не могут превышать расстояния между π1 и π и между π2 и π соответственно. Причём равенство достигается ровно в одном случае — когда отрезки TT1 и TT2 суть соответственно диаметры B1 и B2. Следовательно, искомое отношение равно TT1/TT2. Не ограничивая общности, можно считать, что TT1⩾TT2. Тогда, если обозначить через R радиус сферы и через r — расстояние от точки O до плоскости π, то
TT2TT1=R−rR+r=R/r−1R/r+1.Найдём R/r. Пусть A, B, C — вершины параллелепипеда, через которые проходит плоскость π, и пусть D — четвёртая вершина отсекаемого тетраэдра. Пусть AD=a, BD=b, CD=c. Поскольку плоскость π делит диагональ параллелепипеда, исходящую из вершины D, в отношении 1:2, расстояние от O до π в два раза меньше расстояния от D до π. Стало быть, объём тетраэдра ABCD равен одновременно 31⋅2r⋅S(△ABC) и 61abc. Для площади S(△ABC) справедливо
S(△ABC)=S(△ABD)2+S(△BCD)2+S(△ACD)2=41((ab)2+(bc)2+(ac)2),то есть
r=4S(△ABC)abc=2a21+b21+c211.Учитывая, что R=OD=21a2+b2+c2, получаем
R/r=a2+b2+c2⋅a21+b21+c21=1+2+4⋅1+21+41=7/2.Стало быть, искомое отношение равно
TT2TT1=7/2−17/2+1=9/5.Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ДВИ МГУ