Задача №18013

Найдите все пары вещественных чисел $(a,b)\text{,}$ при которых неравенство

$$2a(x+2{)}^4+9b(x-2{)}^4⩾x^4+24x^2+16$$

справедливо для всех вещественных $x\text{.}$

Заметим, что $(x+2{)}^4+(x-2{)}^4=2(x^4+24x^2+16)\text{.}$ Стало быть, исходное неравенство можно переписать как

$$\left(2a-\frac{1}{2}\right)(x+2{)}^4+\left(9b-\frac{1}{2}\right)(x-2{)}^4⩾0.$$

Подставляя $x=2$ и $x=-2\text{,}$ получаем $2a-\frac{1}{2}⩾0$ и $9b-\frac{1}{2}⩾0\text{.}$ Остаётся заметить, что при выполнении этих ограничений наше неравенство выполняется для всех $x\text{.}$ Следовательно, искомые значения параметров $a$ и $b$ описываются неравенствами $a⩾\frac{1}{4}\text{,}$ $b⩾\frac{1}{18}\text{.}$