Задача №18012

Средне

Задача #18012

Треугольники•10 баллов

На гипотенузе $A B$ прямоугольного треугольника $A B C$ отмечены точки $D$ и $E$ таким образом, что $A D : D B = B E : E A = 1 : 4 .$ Найдите $A B,$ если известно, что площадь треугольника $A B C$ равна 18, а тангенс угла $∠ D C E$ равен $5/3 .$

Положим $a = B C,$ $b = A C,$ $c = A B .$ Опустим из точек $D$ и $E$ на сторону $A C$ перпендикуляры $A D : D B = B E : E A = 1 : 4 .$ и $E L$ соответственно. Пусть $A D : D B = B E : E A = 1 : n$ (по условию $n = 4$ ). Тогда

tg ∠ A C E = \frac{E L}{C L} = \frac{\frac{n}{n + 1} a}{\frac{1}{n + 1} b} = \frac{na}{b}, tg ∠ A C D = \frac{D K}{C K} = \frac{\frac{1}{n + 1} a}{\frac{n}{n + 1} b} = \frac{a}{nb} .

Стало быть,

tg ∠ D C E = tg (∠ A C E - ∠ A C D) = \frac{\frac{na}{b} - \frac{a}{nb}}{1 + \frac{na}{b} \cdot \frac{a}{nb}} = \frac{n ^{2} - 1}{n} \cdot \frac{ab}{a ^{2} + b ^{2}} = \frac{n ^{2} - 1}{n} \cdot \frac{2 S ( △ A B C )}{c ^{2}},

откуда

c = \frac{n ^{2} - 1}{n} \cdot \frac{2 S ( △ A B C )}{tg ∠ D C E} = \frac{15}{4} \cdot \frac{36}{5/3} = 9.

Проверить решение?

Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка

Решай похожие задачи

Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения

Задача по теме "Треугольники"

Задача по теме "Треугольники"

Задача по теме "Треугольники"

Информация

ЭкзаменЕГЭ

Часть

2

Раздел

Геометрия

Тип задачи№18 Планиметрия

ТемаТреугольники

ИсточникДВИ МГУ 2019, июль 2019 года, вариант 1

Откуда задача

ДВИ МГУ

Теги

Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектораТреугольникСинус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов