На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC отмечены точки D и E таким образом, что AD:DB=BE:EA=1:4. Найдите AB, если известно, что площадь треугольника ABC равна 18, а тангенс угла DCE равен 5/3.

Положим a=BC, b=AC, c=AB. Опустим из точек D и E на сторону AC перпендикуляры DK и EL соответственно. Пусть AD:DB=BE:EA=1:n (по условию n=4). Тогда tg ACE=(EL)/(CL)=(nn+1a)/(1n+1b)=(na)/(b), tg ACD=(DK)/(CK)=(1n+1a)/(nn+1b)=(a)/(nb). Стало быть, tg DCE=tg( ACE- ACD)=(nab-anb)/(1+nab*anb)=(n^2-1)/(n)*(ab)/(a^2+b^2)=(n^2-1)/(n)*(2S( ABC))/(c^2), откуда c=sqrt((n^2-1)/(n)*(2S( ABC))/(tg DCE))=sqrt((15)/(4)*(36)/(5/3))=9.

9