Найдите все пары чисел x,y из промежутка (0,(pi)/(2)), при которых достигается минимум выражения ((sqrt(3)sin y)/(sqrt(2)sin(x+y))+1)((sqrt(2)sin x)/(3sin y)+1)^2((sin(x+y))/(7sqrt(3)sin x)+1)^4.

Положим A=(sqrt(3)sin y)/(sqrt(2)sin(x+y)), B=(sqrt(2)sin x)/(3sin y), C=(sin(x+y))/(7sqrt(3)sin x) и заметим, что, во-первых, эти величины при x,yin(0,(pi)/(2)) положительны, а во-вторых, ABC=(1)/(21). Далее, воспользуемся последовательно неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим двух чисел: A+1 2sqrt(A), B+1=B+(1)/(3)+(1)/(3)+(1)/(3) 2sqrt((B)/(3))+(2)/(3) 4[4](B)/(27), C+1=C+(1)/(7)+*s+(1)/(7) 2sqrt((C)/(7))+(2)/(7)+(2)/(7)+(2)/(7) 4[4](C)/(7^3)+(4)/(7) 8[8](C)/(7^7) (заметим, что для B+1 и для C+1 можно было сразу применить неравенства между средними для четырёх и восьми чисел). Отсюда (A+1)(B+1)^2(C+1)^4(2* 4^2* 8^4)/(3^(3/2)7^(7/2))sqrt(ABC)=(2^(17))/(3^2 7^4), причём равенство достигается тогда и только тогда, когда A=1, B=(1)/(3), C=(1)/(7), что равносильно системе casessin y=sqrt(2)sin x sin(x+y)=sqrt(3)sin xcases. Учитывая ограничение x,yin(0,(pi)/(2)), получаем: casessin y=sqrt(2)sin x sin(x+y)=sqrt(3)sin xcases casessin y=sqrt(2)sin x sin x(cos y+sqrt(2)cos x)=sqrt(3)sin xcases casessin^2 y=2sin^2 x cos y+sqrt(2)cos x=sqrt(3)cases casescos^2 y-2cos^2 x=-1 cos y+sqrt(2)cos x=sqrt(3)cases casescos y-sqrt(2)cos x=-(1)/(sqrt(3)) cos y+sqrt(2)cos x=sqrt(3)cases casescos x=(sqrt(2))/(sqrt(3)) cos y=(1)/(sqrt(3))cases casesx=arccos(sqrt(2))/(sqrt(3)) y=arccos(1)/(sqrt(3))cases.

x = \arccos\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}},\ y = \arccos\dfrac{1}{\sqrt{3}}