Найдите все пары чисел x,y из промежутка (0,(pi)/(2)), при которых достигается минимум выражения ((sqrt(3)sin y)/(sqrt(2)sin(x+y))+1)((sqrt(2)sin x)/(3sin y)+1)^2((sin(x+y))/(7sqrt(3)sin x)+1)^4.

Задача №17983: Сложная задача

Положим

A = \frac{3 sin y}{2 sin ( x + y )}, B = \frac{2 sin x}{3 sin y}, C = \frac{sin ( x + y )}{7 3 sin x}

и заметим, что, во-первых, эти величины при $x, y \in (0, \frac{π}{2})$ положительны, а во-вторых,

A B C = \frac{1}{21} .

Далее, воспользуемся последовательно неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим двух чисел:

A + 1 ⩾ 2 A, B + 1 = B + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} ⩾ 2 \frac{B}{3} + \frac{2}{3} ⩾ 4 4 \frac{B}{27},

C + 1 = C + \frac{1}{7} + \dots + \frac{1}{7} ⩾ 2 \frac{C}{7} + \frac{2}{7} + \frac{2}{7} + \frac{2}{7} ⩾ 4 4 \frac{C}{7 ^{3}} + \frac{4}{7} ⩾ 8 8 \frac{C}{7 ^{7}}

(заметим, что для $B + 1$ и для $C + 1$ можно было сразу применить неравенства между средними для четырёх и восьми чисел). Отсюда

(A + 1) (B + 1)^{2} (C + 1)^{4} ⩾ \frac{2 \cdot 4 ^{2} \cdot 8 ^{4}}{3 ^{3/2} 7 ^{7/2}} A B C = \frac{2 ^{17}}{3 ^{2} 7 ^{4}},

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда

A = 1, B = \frac{1}{3}, C = \frac{1}{7},

что равносильно системе

{sin y = 2 sin x sin (x + y) = 3 sin x .

Учитывая ограничение $x, y \in (0, \frac{π}{2}),$ получаем:

{sin y = 2 sin x sin (x + y) = 3 sin x ⟺ {sin y = 2 sin x sin x (cos y + 2 cos x) = 3 sin x ⟺

⟺ {sin^{2} y = 2 sin^{2} x cos y + 2 cos x = 3 ⟺ {cos^{2} y - 2 cos^{2} x = - 1 cos y + 2 cos x = 3 ⟺

⟺ ⎩ ⎨ ⎧ cos y - 2 cos x = - \frac{1}{3} cos y + 2 cos x = 3 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ cos x = \frac{2}{3} cos y = \frac{1}{3} ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x = arccos \frac{2}{3} y = arccos \frac{1}{3} .

Положим

A = \frac{3 sin y}{2 sin ( x + y )}, B = \frac{2 sin x}{3 sin y}, C = \frac{sin ( x + y )}{7 3 sin x}

и заметим, что, во-первых, эти величины при $x, y \in (0, \frac{π}{2})$ положительны, а во-вторых,

A B C = \frac{1}{21} .

A + 1 ⩾ 2 A, B + 1 = B + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} ⩾ 2 \frac{B}{3} + \frac{2}{3} ⩾ 4 4 \frac{B}{27},

C + 1 = C + \frac{1}{7} + \dots + \frac{1}{7} ⩾ 2 \frac{C}{7} + \frac{2}{7} + \frac{2}{7} + \frac{2}{7} ⩾ 4 4 \frac{C}{7 ^{3}} + \frac{4}{7} ⩾ 8 8 \frac{C}{7 ^{7}}

(A + 1) (B + 1)^{2} (C + 1)^{4} ⩾ \frac{2 \cdot 4 ^{2} \cdot 8 ^{4}}{3 ^{3/2} 7 ^{7/2}} A B C = \frac{2 ^{17}}{3 ^{2} 7 ^{4}},

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда

A = 1, B = \frac{1}{3}, C = \frac{1}{7},

что равносильно системе

{sin y = 2 sin x sin (x + y) = 3 sin x .

Учитывая ограничение $x, y \in (0, \frac{π}{2}),$ получаем:

{sin y = 2 sin x sin (x + y) = 3 sin x ⟺ {sin y = 2 sin x sin x (cos y + 2 cos x) = 3 sin x ⟺

⟺ {sin^{2} y = 2 sin^{2} x cos y + 2 cos x = 3 ⟺ {cos^{2} y - 2 cos^{2} x = - 1 cos y + 2 cos x = 3 ⟺

⟺ ⎩ ⎨ ⎧ cos y - 2 cos x = - \frac{1}{3} cos y + 2 cos x = 3 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ cos x = \frac{2}{3} cos y = \frac{1}{3} ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x = arccos \frac{2}{3} y = arccos \frac{1}{3} .