Задача №17982

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ с боковыми рёбрами $A{A}^{\prime }\text{,}$ $B{B}^{\prime }\text{,}$ $C{C}^{\prime }\text{,}$ $D{D}^{\prime }\text{.}$ На рёбрах $AB\text{,}$ $BC\text{,}$ $CD\text{,}$ $DA$ нижнего основания отмечены соответственно точки $K\text{,}$ $L\text{,}$ $M\text{,}$ $N\text{,}$ таким образом, что $AK:KB=4:5\text{,}$ $BL:LC=3:1\text{,}$ $CM:MD=7:2\text{,}$ $DN:NA=3:1\text{.}$ Пусть $P\text{,}$ $Q\text{,}$ $R$ — центры сфер, описанных около тетраэдров $AKN{A}^{\prime }\text{,}$ $BLK{B}^{\prime }\text{,}$ $CML{C}^{\prime }\text{,}$ соответственно. Найдите $PQ\text{,}$ если известно, что $QR=1$ и $AB:BC=3:2\text{.}$

Точка $P$ равноудалена от точек $A\text{,}$ $A^{\prime }\text{,}$ следовательно, она лежит в плоскости, проходящей через середины боковых рёбер параллелепипеда. По аналогичным соображениям точки $Q\text{,}$ $R$ также лежат в этой плоскости. Далее, ортогональные проекции $P^{\prime }\text{,}$ $Q^{\prime }\text{,}$ $R^{\prime }$ точек $P\text{,}$ $Q\text{,}$ $R$ на плоскость $ABC$ суть центры окружностей, описанных около треугольников $AKN\text{,}$ $BLK\text{,}$ $CML$ соответственно. Эти треугольники прямоугольные, стало быть, $P^{\prime }\text{,}$ $Q^{\prime }\text{,}$ $R^{\prime }$ совпадают с серединами отрезков $KN\text{,}$ $LK\text{,}$ $ML$ соответственно. Получаем

Далее, обозначим через $M^{\prime }$ ортогональную проекцию точки $M$ на $AB\text{,}$ а через $N^{\prime }$ — ортогональную проекцию точки $N$ на $BC\text{.}$ Тогда

откуда

Получаем

Таким образом, прямоугольные треугольники $M{M}^{\prime }K$ и $N{N}^{\prime }L$ подобны, откуда

Стало быть, $PQ=3/2\text{.}$