Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA'B'C'D' с боковыми рёбрами AA', BB', CC', DD'. На рёбрах AB, BC, CD, DA нижнего основания отмечены соответственно точки K, L, M, N, таким образом, что AK:KB=4:5, BL:LC=3:1, CM:MD=7:2, DN:NA=3:1. Пусть P, Q, R — центры сфер, описанных около тетраэдров AKNA', BLKB', CMLC', соответственно. Найдите PQ, если известно, что QR=1 и AB:BC=3:2.

Точка P равноудалена от точек A, A', следовательно, она лежит в плоскости, проходящей через середины боковых рёбер параллелепипеда. По аналогичным соображениям точки Q, R также лежат в этой плоскости. Далее, ортогональные проекции P', Q', R' точек P, Q, R на плоскость ABC суть центры окружностей, описанных около треугольников AKN, BLK, CML соответственно. Эти треугольники прямоугольные, стало быть, P', Q', R' совпадают с серединами отрезков KN, LK, ML соответственно. Получаем PQ=P'Q'=(1)/(2)NL, QR=Q'R'=(1)/(2)MK. Далее, обозначим через M' ортогональную проекцию точки M на AB, а через N' — ортогональную проекцию точки N на BC. Тогда AM'=DM=(2)/(9)CD=(2)/(9)AB, BN'=AN=(1)/(4)AD=(1)/(4)BC, откуда M'K=AK-AM'=((4)/(9)-(2)/(9))AB=(2)/(9)AB, N'L=BL-BN'=((3)/(4)-(1)/(4))BC=(1)/(2)BC. Получаем (MM')/(M'K)=(BC)/(29AB)=3, (NN')/(N'L)=(AB)/(12BC)=3. Таким образом, прямоугольные треугольники MM'K и NN'L подобны, откуда (PQ)/(QR)=(NL)/(MK)=(NN')/(MM')=(AB)/(BC)=(3)/(2). Стало быть, PQ=3/2.

3/2