Задача №17981

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при которых система

$$\{\begin{array}{l}a{x}^2+4ax-8y+6a+28⩽0\\ a{y}^2-6ay-8x+11a-12⩽0\end{array}$$

имеет ровно одно решение.

Перепишем систему как

$$\{\begin{array}{l}a(x+2{)}^2-8(y-3)+2a+4⩽0\\ a(y-3{)}^2-8(x+2)+2a+4⩽0\end{array}.$$

Такая система имеет ровно одно решение тогда и только тогда, когда ровно одно решение имеет система

$$\{\begin{array}{l}a{u}^2-8v+2a+4⩽0\\ a{v}^2-8u+2a+4⩽0\end{array}.$$

Если $a⩽0\text{,}$ то любые $u,v\text{,}$ такие что $u⩾1/2\text{,}$ $v⩾1/2\text{,}$ удовлетворяют системе. Стало быть, для единственности решения необходимо условие

$$a>0.$$

Далее, если пара $(u,v)$ является решением, то и пара $(v,u)$ также является решением. Следовательно, необходимо, чтобы существовало такое $u\text{,}$ что пара $(u,u)$ является решением, причём такое $u$ должно быть единственным. Неравенство

$$a{u}^2-8u+2a+4⩽0$$

при положительном $a$ имеет ровно одно решение тогда и только тогда, когда дискриминант $64-4a(2a+4)$ равен нулю. Получаем

$$a^2+2a-8=0,$$

откуда $a=2,-4\text{.}$ Ввиду положительности $a$ остаётся $a=2\text{.}$ Подставив $a=2$ в систему относительно $u,v\text{,}$ получаем

$$\{\begin{array}{l}{u}^2-4v+4⩽0\\ v^2-4u+4⩽0\end{array}.$$

Сумма этих двух неравенств даёт $(u-2{)}^2+(v-2{)}^2⩽0\text{,}$ откуда $u=v=2$ — единственное решение. Стало быть, $a=2\text{,}$ действительно, удовлетворяет условию.