Найдите все значения параметра a, при которых система casesax^2+4ax-8y+6a+28 0 ay^2-6ay-8x+11a-12 0cases имеет ровно одно решение.

Перепишем систему как casesa(x+2)^2-8(y-3)+2a+4 0 a(y-3)^2-8(x+2)+2a+4 0cases. Такая система имеет ровно одно решение тогда и только тогда, когда ровно одно решение имеет система casesau^2-8v+2a+4 0 av^2-8u+2a+4 0cases. Если a 0, то любые u,v, такие что u 1/2, v 1/2, удовлетворяют системе. Стало быть, для единственности решения необходимо условие a>0. Далее, если пара (u,v) является решением, то и пара (v,u) также является решением. Следовательно, необходимо, чтобы существовало такое u, что пара (u,u) является решением, причём такое u должно быть единственным. Неравенство au^2-8u+2a+4 0 при положительном a имеет ровно одно решение тогда и только тогда, когда дискриминант 64-4a(2a+4) равен нулю. Получаем a^2+2a-8=0, откуда a=2,-4. Ввиду положительности a остаётся a=2. Подставив a=2 в систему относительно u,v, получаем casesu^2-4v+4 0 v^2-4u+4 0cases. Сумма этих двух неравенств даёт (u-2)^2+(v-2)^2 0, откуда u=v=2 — единственное решение. Стало быть, a=2, действительно, удовлетворяет условию.

a = 2