Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Пусть M — середина отрезка AD, а N — произвольная точка отрезка BC. Пусть K — пересечение отрезков CM и DN, а L — пересечение отрезков MN и AC. Найдите все возможные значения площади треугольника DMK, если известно, что AD:BC=3:2, а площадь треугольника ABL равна 4.

Заметим, что треугольник DMK подобен треугольнику NCK, а треугольник MAL подобен треугольнику NCL. Отсюда ввиду равенства DM=MA получаем, что (CK)/(MK)=(NC)/(DM)=(NC)/(MA)=(CL)/(AL), то есть (MC)/(MK)=1+(CK)/(MK)=1+(CL)/(AL)=(AC)/(AL). Следовательно, S_( DMK)=(MK)/(MC)S_( DMC)=(MK)/(MC)*(DM)/(BC)S_( ABC)=(MK)/(MC)*(DM)/(BC)*(AC)/(AL)S_( ABL)=(DM)/(BC)S_( ABL)=(AD)/(2BC)S_( ABL)=(3)/(2* 2)* 4=3.

3