Из вершины D на плоскость основания ABC пирамиды ABCD опущена высота DH. Найдите объем этой пирамиды, если известно, что площади треугольников HBC, HAC, HAB равны соответственно (2)/(9), (1)/(3), (4)/(9), и что все три плоских угла при вершине D прямые.

Обозначим через alpha, beta, gamma двугранные углы при ребрах BC, AC, AB соответственно. Поскольку DH ABC, HBC является ортогональной проекцией DBC. Следовательно, S( HBC)/S( DBC)=. С другой стороны, AD DBC, то есть DBC является ортогональной проекцией ABC, откуда S( DBC)/S( ABC)=. Учитывая, что S( ABC)=S( ABH)+S( BCH)+S( ACH)=1, получаем =S( DBC)=(S( HBC))/(S( DBC))=sqrt(S( HBC)). Аналогично, =S( DAC)=sqrt(S( HAC)), =S( DAB)=sqrt(S( HAB)). Далее, поскольку плоские углы при вершине D прямые, V(ABCD)=(1)/(6)AD* BD* CD=(sqrt(2))/(3)sqrt((BD* CD)/(2)*(AD* CD)/(2)*(AD* BD)/(2))= =(sqrt(2))/(3)sqrt(S( DBC)* S( DAC)* S( DAB))=(sqrt(2))/(3)[4]S( HBC)* S( HAC)* S( HAB)= =(sqrt(2))/(3)[4](2)/(9)*(1)/(3)*(4)/(9)=(2[4]2)/(9[4]3).

\dfrac{2\sqrt[4]{2}}{9\sqrt[4]{3}}