Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ДВИ МГУ
Из вершины D на плоскость основания ABC пирамиды ABCD опущена высота DH. Найдите объем этой пирамиды, если известно, что площади треугольников △HBC, △HAC, △HAB равны соответственно 92, 31, 94, и что все три плоских угла при вершине D прямые.
Обозначим через α, β, γ двугранные углы при ребрах BC, AC, AB соответственно. Поскольку DH⊥ABC, △HBC является ортогональной проекцией △DBC. Следовательно, S(△HBC)/S(△DBC)=cosα. С другой стороны, AD⊥DBC, то есть △DBC является ортогональной проекцией △ABC, откуда S(△DBC)/S(△ABC)=cosα. Учитывая, что S(△ABC)=S(△ABH)+S(△BCH)+S(△ACH)=1, получаем
cosα=S(△DBC)=S(△DBC)S(△HBC)=S(△HBC).Аналогично,
cosβ=S(△DAC)=S(△HAC), cosγ=S(△DAB)=S(△HAB).Далее, поскольку плоские углы при вершине D прямые,
V(ABCD)=61AD⋅BD⋅CD=322BD⋅CD⋅2AD⋅CD⋅2AD⋅BD= =32S(△DBC)⋅S(△DAC)⋅S(△DAB)=324S(△HBC)⋅S(△HAC)⋅S(△HAB)= =32492⋅31⋅94=943242.