Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ДВИ МГУ
Через вершины A и B треугольника ABC проведена окружность, касающаяся прямых AC и BC. На этой окружности выбрана точка D (внутри треугольника), лежащая на расстоянии 2 от прямой AB и на расстоянии 5 от прямой BC. Найдите угол ∠DBC, если известно, что ∠ABD=∠BCD.
Положим ∠ABD(=∠BCD)=α, ∠DBC=β. Поскольку угол DAB опирается на дугу DB, а BC — касательная, справедливо ∠DAB=∠DBC=β. Аналогично, ∠CAD=∠ABD=α. Тогда из теоремы синусов, применённой к треугольнику ABC, следует, что
BCAB=sin(α+β)sin(π−2α−2β)=2cos(α+β).То же самое можно было бы получить, опустив перпендикуляр из C на AB, поскольку AC=BC как касательные.
С другой стороны, треугольники ABD и BCD подобны (в силу равенства соответствующих углов), откуда
BCAB=DFDE=DBDE⋅DFDB=sinβsinα,где DE и DF — перпендикуляры, опущенные из D на AB и BC соответственно.
Получаем
2cos(α+β)=sinβsinα,откуда
cosαsin2β−sinα(2sin2β+1)=0и
tgα=2−cos2βsin2β.Поскольку и α, и β ограничены π/2, выражая tgα через sinα, получаем
sinα=(2−cos2β)2+sin22βsin2β=5−4cos2βsin2β=9−8cos2βsin2β.Вспоминая, что DE/DF=sin(α)/sin(β), получаем
DFDE=9−8cos2β2cosβ.По условию DE/DF=2/5. Следовательно, cos2β=1/2 и, стало быть, β=π/4.