Через вершины A и B треугольника ABC проведена окружность, касающаяся прямых AC и BC. На этой окружности выбрана точка D (внутри треугольника), лежащая на расстоянии sqrt(2) от прямой AB и на расстоянии sqrt(5) от прямой BC. Найдите угол DBC, если известно, что ABD= BCD.

Положим ABD(= BCD)=alpha, DBC=beta. Поскольку угол DAB опирается на дугу DB, а BC — касательная, справедливо DAB= DBC=beta. Аналогично, CAD= ABD=alpha. Тогда из теоремы синусов, применённой к треугольнику ABC, следует, что (AB)/(BC)=(sin(pi-2alpha-2beta))/(sin(alpha+beta))=2cos(alpha+beta). То же самое можно было бы получить, опустив перпендикуляр из C на AB, поскольку AC=BC как касательные. С другой стороны, треугольники ABD и BCD подобны (в силу равенства соответствующих углов), откуда (AB)/(BC)=(DE)/(DF)=(DE)/(DB)*(DB)/(DF)=()/(), где DE и DF — перпендикуляры, опущенные из D на AB и BC соответственно. Получаем 2cos(alpha+beta)=()/(), откуда 2beta-(2sin^2beta+1)=0 и tgalpha=(sin 2beta)/(2-cos 2beta). Поскольку и alpha, и beta ограничены pi/2, выражая tgalpha через , получаем =(sin 2beta)/(sqrt((2-cos 2beta)^2+sin^2 2beta))=(sin 2beta)/(sqrt(5-4cos 2beta))=(sin 2beta)/(sqrt(9-8cos^2beta)). Вспоминая, что DE/DF=sin(alpha)/sin(beta), получаем (DE)/(DF)=(2)/(sqrt(9-8cos^2beta)). По условию DE/DF=sqrt(2/5). Следовательно, cos^2beta=1/2 и, стало быть, beta=pi/4.

\pi/4