Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ДВИ МГУ
В правильную треугольную призму с основаниями ABC, A′B′C′ и рёбрами AA′, BB′, CC′ вписана сфера. Найдите её радиус, если известно, что расстояние между прямыми AE и BD равно 13, где E и D — точки, лежащие на A′B′ и B′C′ соответственно, и A′E:EB′=B′D:DC′=1:2.
Пусть A′E:EB′=B′D:DC′=1:k (по условию k=2). Обозначим через d расстояние между AE и BD (по условию d=13). Обозначим также через F и F′ середины рёбер AC и A′C′ соответственно. Опустим из точек E и D перпендикуляры EE′ и DD′ на ребро A′C′. По теореме Фалеса A′E′:E′F′=F′D′:D′C′=1:k. Следовательно, E′D′=A′F′=AF, то есть прямые AE′ и FD′ параллельны. Поскольку прямые EE′ и DD′ также параллельны, получаем, что плоскости α=AEE′ и β=BDD′F параллельны. Стало быть, расстояние между прямыми AE и BD равно расстоянию между плоскостями α и β. Но поскольку F — середина AC, расстояние между α и β равно расстоянию от C до β. Заметим, что перпендикуляр, опущенный из C на FD′, по теореме о трёх перпендикулярах перпендикулярен BF. Стало быть, он перпендикулярен и всей плоскости β, то есть его длина равна d.
Рассмотрим треугольник FCK, где K — точка пересечения прямых CC′ и FD′. Это прямоугольный треугольник с прямым углом C. При этом, если r — искомый радиус, то
откуда
d=FC2+CK2FC⋅CK=r⋅3+4(k+1)223(k+1)=r⋅136.Учитывая, что d=13, получаем, что r=13/6.