В правильную треугольную призму с основаниями ABC, A'B'C' и рёбрами AA', BB', CC' вписана сфера. Найдите её радиус, если известно, что расстояние между прямыми AE и BD равно sqrt(13), где E и D — точки, лежащие на A'B' и B'C' соответственно, и A'E:EB'=B'D:DC'=1:2.

Пусть A'E:EB'=B'D:DC'=1:k (по условию k=2). Обозначим через d расстояние между AE и BD (по условию d=sqrt(13)). Обозначим также через F и F' середины рёбер AC и A'C' соответственно. Опустим из точек E и D перпендикуляры EE' и DD' на ребро A'C'. По теореме Фалеса A'E':E'F'=F'D':D'C'=1:k. Следовательно, E'D'=A'F'=AF, то есть прямые AE' и FD' параллельны. Поскольку прямые EE' и DD' также параллельны, получаем, что плоскости alpha=AEE' и beta=BDD'F параллельны. Стало быть, расстояние между прямыми AE и BD равно расстоянию между плоскостями alpha и beta. Но поскольку F — середина AC, расстояние между alpha и beta равно расстоянию от C до beta. Заметим, что перпендикуляр, опущенный из C на FD', по теореме о трёх перпендикулярах перпендикулярен BF. Стало быть, он перпендикулярен и всей плоскости beta, то есть его длина равна d. Рассмотрим треугольник FCK, где K — точка пересечения прямых CC' и FD'. Это прямоугольный треугольник с прямым углом C. При этом, если r — искомый радиус, то FC=rsqrt(3), CK=(k+1)CC'=2(k+1)r, откуда d=(FC* CK)/(sqrt(FC^2+CK^2))=r*(2sqrt(3)(k+1))/(sqrt(3+4(k+1)^2))=r*(6)/(sqrt(13)). Учитывая, что d=sqrt(13), получаем, что r=13/6.

13/6