Окружность радиуса 3/2 касается середины стороны BC треугольника ABC и пересекает сторону AB в точках D и E, так что AD:DE:EB=1:2:1. Чему может равняться AC, если BAC=30^?

Обозначим окружность из условия через . Положим b=AC, gamma= ACB, alpha= BAC(=30^), k=DE/EB(=2). Центр равноудалён от точек A, B, C, следовательно он совпадает с центром описанной около треугольника ABC окружности. Пусть F — середина отрезка BC, а O — центр . Тогда OF=r — радиус , OB=R — радиус окружности, описанной около треугольника ABC, OFB=90^, BOF=alpha. Стало быть, по теореме синусов b=2Rsin(alpha+gamma)=(2r)/()sin(alpha+gamma)=2r(tgalpha+). По той же теореме синусов и по теореме о касательной и секущей =(AB)/(BC)=(k+2)/(2)*(BE)/(BF)=(k+2)/(2sqrt(k+1))sqrt((BE* BD)/(BF^2))=(k+2)/(2sqrt(k+1)), то есть для k=2, alpha=30^ =(1)/(sqrt(3)), =+-sqrt((2)/(3)), и (b)/(r)=(2(sqrt(3)+-sqrt(2)))/(3). Оба значения достигаются и определяются тем, находятся точки A и C по одну сторону от прямой BO или нет.

\sqrt{3}\pm\sqrt{2}