Окружность радиуса 3/2 касается середины стороны BC треугольника ABC и пересекает сторону AB в точках D и E, так что AD:DE:EB=1:2:1. Чему может равняться AC, если ∠BAC=30∘?
Обозначим окружность из условия через Ω. Положим b=AC, γ=∠ACB, α=∠BAC(=30∘), k=DE/EB(=2).
Центр Ω равноудалён от точек A, B, C, следовательно он совпадает с центром описанной около треугольника ABC окружности. Пусть F — середина отрезка BC, а O — центр Ω. Тогда OF=r — радиус Ω, OB=R — радиус окружности, описанной около треугольника ABC, ∠OFB=90∘, ∠BOF=α. Стало быть, по теореме синусов
По той же теореме синусов и по теореме о касательной и секущей
sinγ=BCABsinα=2k+2⋅BFBEsinα=2k+1k+2BF2BE⋅BDsinα=2k+1k+2sinα,то есть для k=2, α=30∘
sinγ=31,cosγ=±32,и
rb=32(3±2).Оба значения cosγ достигаются и определяются тем, находятся точки A и C по одну сторону от прямой BO или нет.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ДВИ МГУ