Задача №17855

Пусть

$$f(x,y)=\sqrt{-6x^2-14y^2-18xy+6}+y,$$ $$g(x,y)=-\sqrt{-6x^2-14y^2-18xy+6}+y.$$

Найдите все значения, которые может принимать хотя бы одна из этих функций.

Искомое множество совпадает с множеством значений $z\text{,}$ при которых разрешима относительно $x\text{,}$ $y$ совокупность

$$[\begin{array}{l}z-y=\sqrt{-6x^2-14y^2-18xy+6}\\ z-y=-\sqrt{-6x^2-14y^2-18xy+6}\end{array}$$

Эта совокупность равносильна уравнению

$$(z-y{)}^2=-6x^2-14y^2-18xy+6.$$

То есть уравнению

$$6x^2+18xy+(z-y{)}^2+14y^2+6=0.$$

Разрешимость этого уравнения относительно $x$ при фиксированных $z\text{,}$ $y$ равносильна неотрицательности дискриминанта. Следовательно, исходное искомое множество совпадает с множеством тех $z\text{,}$ при которых относительно $y$ разрешимо неравенство

$$(9y{)}^2-6((z-y{)}^2+14y^2+6)⩾0.$$

Перепишем это неравенство следующим образом:

$$3y^2-4yz+2z^2-12⩽0.$$

Оно разрешимо тогда и только тогда, когда дискриминант неотрицателен. То есть, когда

$$z^2⩽18.$$

Стало быть, искомое множество — отрезок $[-3\sqrt{2},3\sqrt{2}]\text{.}$