Пусть f(x,y)=sqrt(-6x^2-14y^2-18xy+6)+y, g(x,y)=-sqrt(-6x^2-14y^2-18xy+6)+y. Найдите все значения, которые может принимать хотя бы одна из этих функций.

Искомое множество совпадает с множеством значений z, при которых разрешима относительно x, y совокупность [arraylz-y=sqrt(-6x^2-14y^2-18xy+6) z-y=-sqrt(-6x^2-14y^2-18xy+6)array. Эта совокупность равносильна уравнению (z-y)^2=-6x^2-14y^2-18xy+6. То есть уравнению 6x^2+18xy+(z-y)^2+14y^2+6=0. Разрешимость этого уравнения относительно x при фиксированных z, y равносильна неотрицательности дискриминанта. Следовательно, исходное искомое множество совпадает с множеством тех z, при которых относительно y разрешимо неравенство (9y)^2-6((z-y)^2+14y^2+6) 0. Перепишем это неравенство следующим образом: 3y^2-4yz+2z^2-12 0. Оно разрешимо тогда и только тогда, когда дискриминант неотрицателен. То есть, когда z^2 18. Стало быть, искомое множество — отрезок [-3sqrt(2),3sqrt(2)].

[-3\sqrt{2},3\sqrt{2}]