Задача №17852

Окружности ${\Omega }_1$ и ${\Omega }_2$ с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ касаются внешним образом в точке $A\text{.}$ Общая внешняя касательная к этим окружностям касается ${\Omega }_1$ и ${\Omega }_2$ соответственно в точках $B_1$ и $B_2\text{.}$ Общая касательная к окружностям, проходящая через точку $A\text{,}$ пересекает отрезок $B_1{B}_2$ в точке $C\text{.}$ Прямая, делящая угол $AC{O}_2$ пополам, пересекает прямые $O_1{B}_1\text{,}$ $O_1{O}_2\text{,}$ $O_2{B}_2$ в точках $D_1\text{,}$ $L\text{,}$ $D_2$ соответственно. Найдите отношение $L{D}_2:O_2{D}_2\text{,}$ если известно, что $C{D}_1=C{O}_1\text{.}$

Отрезки $C{B}_1\text{,}$ $CA$ и $C{B}_2$ равны как отрезки касательных. Следовательно, $△O_{1}C{B}_1=△O_{1}CA\text{,}$ $△O_{2}C{B}_2=△O_{2}CA\text{.}$ Значит, $C{O}_1$ и $C{O}_2$ суть биссектрисы углов $AC{B}_1$ и $AC{B}_2$ и, таким образом, образуют прямой угол. Стало быть, $\angle LC{O}_1=90^{\circ }-\angle LC{O}_2=90^{\circ }-\angle LCA=\angle CLA\text{,}$ то есть

Пользуясь этим соотношением, получаем:

Последняя импликация следует из подобия треугольников $O_1{D}_{1}L$ и $D_2{O}_{2}L\text{.}$