Окружности _1 и _2 с центрами в точках O_1 и O_2 касаются внешним образом в точке A. Общая внешняя касательная к этим окружностям касается _1 и _2 соответственно в точках B_1 и B_2. Общая касательная к окружностям, проходящая через точку A, пересекает отрезок B_1B_2 в точке C. Прямая, делящая угол ACO_2 пополам, пересекает прямые O_1B_1, O_1O_2, O_2B_2 в точках D_1, L, D_2 соответственно. Найдите отношение LD_2:O_2D_2, если известно, что CD_1=CO_1.

Отрезки CB_1, CA и CB_2 равны как отрезки касательных. Следовательно, O_1CB_1= O_1CA, O_2CB_2= O_2CA. Значит, CO_1 и CO_2 суть биссектрисы углов ACB_1 и ACB_2 и, таким образом, образуют прямой угол. Стало быть, LCO_1=90^- LCO_2=90^- LCA= CLA, то есть D_1LO_1= LCO_1. Пользуясь этим соотношением, получаем: CD_1=CO_1 CD_1O_1= CO_1D_1 D_1LO_1= LCO_1= CD_1O_1+ CO_1D_1=2 CO_1D_1= D_1O_1L D_1L=D_1O_1 LD_2=O_2D_2. Последняя импликация следует из подобия треугольников O_1D_1L и D_2O_2L.

1 : 1