Решите уравнение cos^2 x-cos xsin^2((5x)/(4)-(5pi)/(12))+(1)/(4)=0.

Задача №17851: Уравнение

Поскольку $cos x = 0$ не даёт решения, исходное уравнение равносильно уравнению

sin^{2} (\frac{5 x}{4} - \frac{5 π}{12}) = \frac{1}{2} (\frac{cos x}{1/2} + \frac{1/2}{cos x}) .

По неравенству между средними правая часть по модулю не меньше 1 и равна 1 тогда и только тогда, когда $cos x = 1/2 .$ Получаем систему

⎩ ⎨ ⎧ sin (\frac{5 x}{4} - \frac{5 π}{12}) = \pm 1 cos x = 1/2 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ \frac{5 x}{4} = \frac{5 π}{12} + \frac{π}{2} + π k, k \in Z x = \pm \frac{π}{3} + 2 π n, n \in Z ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x = \frac{11 π}{15} + \frac{4 π k}{5}, k \in Z x = \pm \frac{π}{3} + 2 π n, n \in Z ⟺ x = \frac{π}{3} + 2 π + 4 π n, n \in Z .