Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Задачи повышенной сложности
ДВИ МГУ
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
sin(x+xa)=x+1имеет бесконечно много решений.
Перепишем данное уравнение в виде системы
{t=x+xasint=x+1.(3)Исключая из этой системы переменную x, получаем еще одно уравнение
t=sint−1+sint−1a.(4)Существует взаимно однозначное соответствие между решениями уравнения (4) и решениями системы (3). Точно так же каждому решению системы (3) соответствует единственное решение данного в условии задачи уравнения и наоборот, каждому решению данного уравнения соответствует единственное решение системы (3). Таким образом, множество решений данного уравнения будет бесконечным в том и только том случае, когда бесконечно множество решений уравнения (4). Это уравнение можно переписать в виде
t+1−sint−sint−1a=0.(5)Рассмотрим функцию f(t)=t+1−sint. Она определена и непрерывна на всей числовой прямой. Ее производная f′(t)=1−cost неотрицательна и обращается в нуль в точках вида 2πn, n∈Z. Отсюда следует, что f(t) монотонно возрастает на каждом отрезке [2πn,2π(n+1)], n∈Z, и, значит, f(t) монотонно возрастает на всей числовой прямой. Из неравенств t≤f(t)≤t+2 следует, что множество значений этой функции составляет всю числовую прямую.
Пусть a=0. Тогда уравнение (5) принимает вид f(t)=0. Учитывая монотонность f(t) и тот факт, что множество ее значений совпадает с числовой прямой, заключаем, что уравнение (5) имеет единственное решение. Значит, a=0 не удовлетворяет условию задачи.
Пусть a<0. На промежутке [2π+2πk,23π+2πk] при любом целом k функция sint монотонно убывает от 1 до −1. Поэтому функция sint−11 на том же промежутке возрастает от −∞ до −21, а функция −sint−1a монотонно возрастает от −∞ до 2a. Являясь суммой двух возрастающих функций, левая часть уравнения (5) также возрастает на отрезке [2π+2πk,23π+2πk] от −∞ до 23π+2πk+2+2a. Значит, при любом целом k>4π∣a∣ левая часть уравнения (5) принимает на интервале (2π+2πk,23π+2πk) как отрицательные, так и положительные значения. Поскольку она непрерывна на этом интервале, заключаем, что в какой-то из точек этого интервала она обращается в нуль, т.е. на этом интервале уравнение (5) имеет решение. Но тогда множество решений уравнения (5) и данного уравнения бесконечны.
Пусть a>0. В этом случае рассуждения проходят так же как и в предыдущем. На промежутке [−2π+2πk,2π+2πk] при любом целом k функция sint монотонно возрастает от −1 до 1. Поэтому функция sint−11 на том же промежутке убывает от −21 до −∞, а функция −sint−1a монотонно возрастает от 2a до ∞. Являясь суммой двух возрастающих функций, левая часть уравнения (5) также возрастает на отрезке [−2π+2πk,2π+2πk] от 2−π+2πk+2+2a до ∞. Значит, при любом целом k<−4πa−π1 левая часть уравнения (5) принимает на интервале (−2π+2πk,2π+2πk) как отрицательные, так и положительные значения. Поскольку она непрерывна на этом интервале, заключаем, что в какой-то из точек этого интервала она обращается в нуль, т.е. на этом интервале уравнение (5) имеет решение. Но тогда множества решений уравнения (5) и данного уравнения бесконечны.
Замечание: Предполагается, что соображениями непрерывности и теоремой о промежуточном значении непрерывной функции можно пользоваться без доказательства.