Найдите все значения параметра a, при которых уравнение sin(x+(a)/(x))=x+1 имеет бесконечно много решений.

Перепишем данное уравнение в виде системы casest=x+(a)/(x) sin t=x+1.cases3 Исключая из этой системы переменную x, получаем еще одно уравнение t=sin t-1+(a)/(sin t-1).4 Существует взаимно однозначное соответствие между решениями уравнения (4) и решениями системы (3). Точно так же каждому решению системы (3) соответствует единственное решение данного в условии задачи уравнения и наоборот, каждому решению данного уравнения соответствует единственное решение системы (3). Таким образом, множество решений данного уравнения будет бесконечным в том и только том случае, когда бесконечно множество решений уравнения (4). Это уравнение можно переписать в виде t+1-sin t-(a)/(sin t-1)=0.5 Рассмотрим функцию f(t)=t+1-sin t. Она определена и непрерывна на всей числовой прямой. Ее производная f'(t)=1-cos t неотрицательна и обращается в нуль в точках вида 2pi n, ninZ. Отсюда следует, что f(t) монотонно возрастает на каждом отрезке [2pi n,2pi(n+1)], ninZ, и, значит, f(t) монотонно возрастает на всей числовой прямой. Из неравенств t<= f(t)<= t+2 следует, что множество значений этой функции составляет всю числовую прямую. Пусть a=0. Тогда уравнение (5) принимает вид f(t)=0. Учитывая монотонность f(t) и тот факт, что множество ее значений совпадает с числовой прямой, заключаем, что уравнение (5) имеет единственное решение. Значит, a=0 не удовлетворяет условию задачи. Пусть a<0. На промежутке [(pi)/(2)+2pi k,(3pi)/(2)+2pi k] при любом целом k функция sin t монотонно убывает от 1 до -1. Поэтому функция (1)/(sin t-1) на том же промежутке возрастает от -inf до -(1)/(2), а функция -(a)/(sin t-1) монотонно возрастает от -inf до (a)/(2). Являясь суммой двух возрастающих функций, левая часть уравнения (5) также возрастает на отрезке [(pi)/(2)+2pi k,(3pi)/(2)+2pi k] от -inf до (3pi)/(2)+2pi k+2+(a)/(2). Значит, при любом целом k>(|a|)/(4pi) левая часть уравнения (5) принимает на интервале ((pi)/(2)+2pi k,(3pi)/(2)+2pi k) как отрицательные, так и положительные значения. Поскольку она непрерывна на этом интервале, заключаем, что в какой-то из точек этого интервала она обращается в нуль, т.е. на этом интервале уравнение (5) имеет решение. Но тогда множество решений уравнения (5) и данного уравнения бесконечны. Пусть a>0. В этом случае рассуждения проходят так же как и в предыдущем. На промежутке [-(pi)/(2)+2pi k,(pi)/(2)+2pi k] при любом целом k функция sin t монотонно возрастает от -1 до 1. Поэтому функция (1)/(sin t-1) на том же промежутке убывает от -(1)/(2) до -inf, а функция -(a)/(sin t-1) монотонно возрастает от (a)/(2) до inf. Являясь суммой двух возрастающих функций, левая часть уравнения (5) также возрастает на отрезке [-(pi)/(2)+2pi k,(pi)/(2)+2pi k] от (-pi)/(2)+2pi k+2+(a)/(2) до inf. Значит, при любом целом k<-(a)/(4pi)-(1)/(pi) левая часть уравнения (5) принимает на интервале (-(pi)/(2)+2pi k,(pi)/(2)+2pi k) как отрицательные, так и положительные значения. Поскольку она непрерывна на этом интервале, заключаем, что в какой-то из точек этого интервала она обращается в нуль, т.е. на этом интервале уравнение (5) имеет решение. Но тогда множества решений уравнения (5) и данного уравнения бесконечны. Замечание: Предполагается, что соображениями непрерывности и теоремой о промежуточном значении непрерывной функции можно пользоваться без доказательства.

a \neq 0