В основании прямой призмы ABCA'B'C' лежит прямоугольный треугольник ABC, такой что AC=BC=1. На ребре A'B' верхнего основания (параллельном AB) отмечена точка D, так что A'D:DB'=1:2. Найдите радиус сферы, вписанной в тетраэдр ABC'D, если высота призмы равна 1.

Обозначим объём тетраэдра ABC'D, площадь его поверхности и радиус вписанной в него сферы, соответственно, как V, S, r. Тогда V=(1)/(3)rS. Объём тетраэдра ABC'D равен объёму тетраэдра ABCD, поскольку CC' AA'. Стало быть, V=1/6 и r=(2S)^(-1). Найдём S. Обозначим площади граней тетраэдра ABC'D стандартным образом через S_(ABD), S_(ABC'), S_(ADC'), S_(BDC'). Площади треугольников ABD и ABA' равны, стало быть, S_(ABD)=(sqrt(2))/(2), так как AB=sqrt(2). Высота треугольника ABC', опущенная из вершины C', равна sqrt((3)/(2)), следовательно, S_(ABC')=(sqrt(3))/(2). Чтобы найти S_(ADC'), обозначим через отношение A'D к A'B'. По условию =1/3. Найдём косинус угла между нормалью к плоскости ADC' и прямой AA'. Проведём через точку A' прямую, параллельную C'B', и обозначим точку пересечения этой прямой с прямой C'D через E. Поскольку треугольники A'DE и B'DC' подобны и A'D:DB'=:1-, получаем, что A'E=()/(1-). Стало быть, в системе координат с началом в точке A' и осями A'A, A'C', A'E вектор нормали к плоскости ADC' может быть записан как (1,1,(1-)/()). Вектор же A'A имеет вид (1,0,0). Следовательно, cos=(1)/(sqrt(3-2+1^2))=()/(sqrt(3^2-2+1)). Площадь треугольника A'DC' относится к площади треугольника A'B'C', как , то есть она равна ()/(2). Стало быть, S_(ADC')=()/(2cos)=(1)/(2)sqrt(3^2-2+1)=(1)/(2)sqrt((2)/(3)). Заметим, что из соображений симметрии S_(BDC') получается из S_(ADC') заменой на 1-, то есть S_(BDC')=(1)/(2)sqrt(3(1-)^2-2(1-)+1)=(1)/(2). Итак, S=S_(ABD)+S_(ABC')+S_(ADC')+S_(BDC')=(1)/(2)(1+sqrt(2)+sqrt(3)+sqrt((2)/(3))). Остается воспользоваться соотношением r=(2S)^(-1).

\left(1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)^{-1}