В основании прямой призмы ABCA′B′C′ лежит прямоугольный треугольник ABC, такой что AC=BC=1. На ребре A′B′ верхнего основания (параллельном AB) отмечена точка D, так что A′D:DB′=1:2. Найдите радиус сферы, вписанной в тетраэдр ABC′D, если высота призмы равна 1.
Обозначим объём тетраэдра ABC′D, площадь его поверхности и радиус вписанной в него сферы, соответственно, как V, S, r. Тогда V=31rS. Объём тетраэдра ABC′D равен объёму тетраэдра ABCD, поскольку CC′∥AA′. Стало быть, V=1/6 и
r=(2S)−1.Найдём S. Обозначим площади граней тетраэдра ABC′D стандартным образом через SABD, SABC′, SADC′, SBDC′. Площади треугольников ABD и ABA′ равны, стало быть, SABD=22, так как AB=2. Высота треугольника ABC′, опущенная из вершины C′, равна 23, следовательно, SABC′=23.
Чтобы найти SADC′, обозначим через λ отношение A′D к A′B′. По условию λ=1/3. Найдём косинус угла φ между нормалью к плоскости ADC′ и прямой AA′. Проведём через точку A′ прямую, параллельную C′B′, и обозначим точку пересечения этой прямой с прямой C′D через E. Поскольку треугольники A′DE и B′DC′ подобны и A′D:DB′=λ:1−λ, получаем, что A′E=1−λλ. Стало быть, в системе координат с началом в точке A′ и осями A′A, A′C′, A′E вектор нормали к плоскости ADC′ может быть записан как (1,1,λ1−λ). Вектор же A′A имеет вид (1,0,0). Следовательно,
cosφ=3−λ2+λ211=3λ2−2λ+1λ.Площадь треугольника A′DC′ относится к площади треугольника A′B′C′, как λ, то есть она равна 2λ. Стало быть,
SADC′=2cosφλ=213λ2−2λ+1=2132.Заметим, что из соображений симметрии SBDC′ получается из SADC′ заменой λ на 1−λ, то есть
SBDC′=213(1−λ)2−2(1−λ)+1=21.Итак,
S=SABD+SABC′+SADC′+SBDC′=21(1+2+3+32).Остается воспользоваться соотношением r=(2S)−1.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ДВИ МГУ