Задача №17819

Решите уравнение

$$\frac{\sin 5x}{\sin x}-\frac{\cos 5x}{\cos x}=\frac{\sin x}{\sin 5x}-\frac{\cos x}{\cos 5x}.$$

Преобразуем левую и правую части уравнения при помощи формул синуса разности и синуса двойного угла:

$$\frac{\sin 4x}{\frac{1}{2}\sin 2x}=\frac{\sin (-4x)}{\frac{1}{2}\sin 10x}.$$

Это равносильно тому, что

$$\frac{\sin 4x(\sin 2x+\sin 10x)}{\sin 2x\sin 10x}=0.$$

Преобразуем сумму синусов в произведение:

$$\frac{\sin 4x\sin 6x\cos 4x}{\sin 2x\sin 10x}=0.$$

Еще раз воспользуемся формулой синуса двойного угла:

$$\frac{\sin 8x\sin 6x}{\sin 2x\sin 10x}=0.$$

Учитывая, что нули функции $\sin 2x$ являются нулями функции $\sin 10x\text{,}$ получаем:

$$\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}\sin 6x=0\\ \sin 8x=0\end{array}\\ \sin 10x\ne 0\end{array}$$

Общие нули $\sin 6x$ и $\sin 10x$ имеют вид $\frac{k\pi }{2}\text{,}$ $k\in \mathbb{Z}\text{.}$ Точно так же выглядят общие нули $\sin 8x$ и $\sin 10x\text{.}$ Следовательно, из серий $\frac{m\pi }{8}\text{,}$ $\frac{n\pi }{6}\text{,}$ $m,n\in \mathbb{Z}\text{,}$ нужно выкинуть числа вида $\frac{k\pi }{2}\text{,}$ $k\in \mathbb{Z}\text{.}$