В основании прямой призмы ABCA'B'C' лежит прямоугольный треугольник ABC, такой что AC=BC=1. На ребре A'C' верхнего основания (параллельном AC) отмечена точка D, так что A'D:DC'=2:1. Найдите радиус...

Задача №17814: Стереометрия

Введём систему координат. В основании призмы лежит прямоугольный треугольник $A B C$ с равными катетами $A C = B C = 1;$ значит прямой угол при вершине $C,$ а $A B = 2 .$ Высота призмы равна $1,$ поэтому положим:

C = (0, 0, 0), A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C^{'} = (0, 0, 1), A^{'} = (1, 0, 1), B^{'} = (0, 1, 1) .

Точка $D$ лежит на ребре $A^{'} C^{'},$ причём $A^{'} D : D C^{'} = 2 : 1,$ то есть $D = A^{'} + \frac{2}{3} (C^{'} - A^{'}) :$

D = (\frac{1}{3}, 0, 1) .

Рассмотрим тетраэдр $A B^{'} C D$ с вершинами

A = (1, 0, 0), B^{'} = (0, 1, 1), C = (0, 0, 0), D = (\frac{1}{3}, 0, 1) .

Объём. Через смешанное произведение векторов из $C :$
$C A = (1, 0, 0),$ $C B^{'} = (0, 1, 1),$ $C D = (\frac{1}{3}, 0, 1) .$

V = \frac{1}{6} C A \cdot (C B^{'} \times C D) = \frac{1}{6} det 10 \frac{1}{3} 010011 = \frac{1}{6} \cdot 1 = \frac{1}{6} .

Площади граней (через половину нормы векторного произведения):

S_{B^{'} C D} = \frac{11}{6}, S_{A C D} = \frac{1}{2}, S_{A B^{'} D} = \frac{14}{6}, S_{A B^{'} C} = \frac{2}{2} .

Полная поверхность:

S = \frac{1}{2} + \frac{2}{2} + \frac{11}{6} + \frac{14}{6} = \frac{3 + 3 2 + 11 + 14}{6} .

Радиус вписанной сферы (вписанная сфера тетраэдра единственна) находится по формуле $r = \frac{3 V}{S} :$

r = \frac{3 \cdot \frac{1}{6}}{\frac{3 + 3 2 + 11 + 14}{6}} = \frac{3}{3 + 3 2 + 11 + 14} \approx 0, 210.

Проверка корректности: центр вписанной сферы — точка, равноудалённая (на расстояние $r$ ) от всех четырёх граней — лежит строго внутри тетраэдра $(\approx (0, 331, 0, 210, 0, 506)),$ все координаты допустимы, посторонних решений нет. Ответ:

r = \frac{3}{3 + 3 2 + 11 + 14} \approx 0, 210 .

C = (0, 0, 0), A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C^{'} = (0, 0, 1), A^{'} = (1, 0, 1), B^{'} = (0, 1, 1) .

Точка $D$ лежит на ребре $A^{'} C^{'},$ причём $A^{'} D : D C^{'} = 2 : 1,$ то есть $D = A^{'} + \frac{2}{3} (C^{'} - A^{'}) :$

D = (\frac{1}{3}, 0, 1) .

Рассмотрим тетраэдр $A B^{'} C D$ с вершинами

A = (1, 0, 0), B^{'} = (0, 1, 1), C = (0, 0, 0), D = (\frac{1}{3}, 0, 1) .

Объём. Через смешанное произведение векторов из $C :$
$C A = (1, 0, 0),$ $C B^{'} = (0, 1, 1),$ $C D = (\frac{1}{3}, 0, 1) .$

V = \frac{1}{6} C A \cdot (C B^{'} \times C D) = \frac{1}{6} det 10 \frac{1}{3} 010011 = \frac{1}{6} \cdot 1 = \frac{1}{6} .

Площади граней (через половину нормы векторного произведения):

S_{B^{'} C D} = \frac{11}{6}, S_{A C D} = \frac{1}{2}, S_{A B^{'} D} = \frac{14}{6}, S_{A B^{'} C} = \frac{2}{2} .

Полная поверхность:

S = \frac{1}{2} + \frac{2}{2} + \frac{11}{6} + \frac{14}{6} = \frac{3 + 3 2 + 11 + 14}{6} .

Радиус вписанной сферы (вписанная сфера тетраэдра единственна) находится по формуле $r = \frac{3 V}{S} :$

r = \frac{3 \cdot \frac{1}{6}}{\frac{3 + 3 2 + 11 + 14}{6}} = \frac{3}{3 + 3 2 + 11 + 14} \approx 0, 210.

r = \frac{3}{3 + 3 2 + 11 + 14} \approx 0, 210 .

Задача №17814

Задача #17814

Решай похожие задачи

Информация

Задача №17814

Задача #17814

Решай похожие задачи

Информация

Задача #17814

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация

Задача #17814

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация