Найдите все целые числа x, y, z такие, что:
5x2+y2+3z2−2yz=30.Найдём все целочисленные решения уравнения
5x2+y2+3z2−2yz=30.Приведение квадратичной формы к сумме квадратов. Выделим полный квадрат по y:
y2−2yz+3z2=(y2−2yz+z2)+2z2=(y−z)2+2z2.Тогда уравнение принимает вид
5x2+(y−z)2+2z2=30.В левой части стоит сумма трёх неотрицательных слагаемых, поэтому каждое из них не превосходит 30.
Ограничение на x. Из 5x2⩽30 следует x2⩽6, то есть x2∈{0,1,4} (значение x2=6 невозможно для целого x). Обозначим R=30−5x2=(y−z)2+2z2 и разберём три случая.
Случай x2=0 (т.е. x=0), R=30. Нужно (y−z)2+2z2=30. Из 2z2⩽30 имеем z2⩽15, то есть ∣z∣⩽3. Тогда (y−z)2=30−2z2 должно быть точным квадратом. Перебор: z2=0⇒30, z2=1⇒28, z2=4⇒22, z2=9⇒12 — ни одно из чисел 30,28,22,12 не является полным квадратом. Решений нет.
Случай x2=1 (т.е. x=±1), R=25. Нужно (y−z)2+2z2=25, ∣z∣⩽3. Перебор: z2=0⇒(y−z)2=25 — квадрат, даёт y−z=±5; z2=1⇒23, z2=4⇒17, z2=9⇒7 — не квадраты. Значит, z=0 и y=±5. Получаем решения (x,y,z)=(±1,±5,0).
Случай x2=4 (т.е. x=±2), R=10. Нужно (y−z)2+2z2=10, ∣z∣⩽2. Перебор: z2=0⇒10, z2=1⇒8, z2=4⇒2 — не полные квадраты. Решений нет.
Итог. Решения существуют только при x=±1, и в этом случае z=0, y=±5. Таким образом, целочисленных решений ровно четыре:
(x,y,z)∈{(1,5,0), (1,−5,0), (−1,5,0), (−1,−5,0)}.Проверка (подстановка). Для любого из найденных наборов 5⋅1+25+3⋅0−2⋅(±5)⋅0=5+25=30 — равенство выполнено. Поскольку выражение зависит от x только через x2 и от y (при z=0) только через y2, все четыре комбинации знаков подходят.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
ДВИ МГУ