Найдите все целые числа x, y, z такие, что: 5x^2+y^2+3z^2-2yz=30.

Найдём все целочисленные решения уравнения 5x^2+y^2+3z^2-2yz=30. **Приведение квадратичной формы к сумме квадратов.** Выделим полный квадрат по y: y^2-2yz+3z^2=(y^2-2yz+z^2)+2z^2=(y-z)^2+2z^2. Тогда уравнение принимает вид 5x^2+(y-z)^2+2z^2=30. В левой части стоит сумма трёх неотрицательных слагаемых, поэтому каждое из них не превосходит 30. **Ограничение на x.** Из 5x^2 30 следует x^2 6, то есть x^2in0,1,4 (значение x^2=6 невозможно для целого x). Обозначим R=30-5x^2=(y-z)^2+2z^2 и разберём три случая. **Случай x^2=0 (т.е. x=0), R=30.** Нужно (y-z)^2+2z^2=30. Из 2z^2 30 имеем z^2 15, то есть |z| 3. Тогда (y-z)^2=30-2z^2 должно быть точным квадратом. Перебор: z^2=0=> 30, z^2=1=> 28, z^2=4=> 22, z^2=9=> 12 — ни одно из чисел 30,28,22,12 не является полным квадратом. Решений нет. **Случай x^2=1 (т.е. x=+-1), R=25.** Нужно (y-z)^2+2z^2=25, |z| 3. Перебор: z^2=0=> (y-z)^2=25 — квадрат, даёт y-z=+-5; z^2=1=> 23, z^2=4=> 17, z^2=9=> 7 — не квадраты. Значит, z=0 и y=+-5. Получаем решения (x,y,z)=(+-1,+-5,0). **Случай x^2=4 (т.е. x=+-2), R=10.** Нужно (y-z)^2+2z^2=10, |z| 2. Перебор: z^2=0=> 10, z^2=1=> 8, z^2=4=> 2 — не полные квадраты. Решений нет. **Итог.** Решения существуют только при x=+-1, и в этом случае z=0, y=+-5. Таким образом, целочисленных решений ровно четыре: (x,y,z)in(1,5,0), (1,-5,0), (-1,5,0), (-1,-5,0). **Проверка (подстановка).** Для любого из найденных наборов 5* 1+25+3* 0-2*(+-5)* 0=5+25=30 — равенство выполнено. Поскольку выражение зависит от x только через x^2 и от y (при z=0) только через y^2, все четыре комбинации знаков подходят.

(x,y,z) = (\pm 1,\ \pm 5,\ 0) — четыре набора: (1,5,0),\ (1,-5,0),\ (-1,5,0),\ (-1,-5,0)