Задача №17806

Решите неравенство:

$$(x^2-5x+4)(x^2-9x+20)\cdot 2^{\sqrt{x}}\ge 0.$$

Множитель $2^{\sqrt{x}}$ определён лишь при $x⩾0$ (под корнем должно стоять неотрицательное число). Поэтому ОДЗ неравенства: $x⩾0\text{.}$

При $x⩾0$ множитель $2^{\sqrt{x}}>0$ всегда (показательная функция положительна), поэтому он не влияет на знак произведения, и неравенство равносильно (на ОДЗ) неравенству

$$(x^2-5x+4)(x^2-9x+20)⩾0.$$

Разложим квадратные трёхчлены на множители:

$$x^2-5x+4=(x-1)(x-4),x^2-9x+20=(x-4)(x-5).$$

Тогда

$$(x^2-5x+4)(x^2-9x+20)=(x-1)(x-4{)}^2(x-5).$$

Множитель $(x-4{)}^2⩾0$ знак не меняет, поэтому при $x\ne 4$ знак произведения совпадает со знаком $(x-1)(x-5)\text{,}$ а в точке $x=4$ произведение обращается в нуль (и неравенство, нестрогое, выполняется).

Решим $(x-1)(x-5)⩾0$ методом интервалов: парабола с корнями $1$ и $5$ неотрицательна при

$$x⩽1\text{или}x⩾5.$$

К этому добавляется изолированная точка $x=4\text{,}$ где исходное произведение равно нулю.

Итак, с учётом самого произведения получаем $x\in (-\infty ,1]\cup \{4\}\cup [5,+\infty )\text{.}$ Остаётся пересечь это с ОДЗ $x⩾0\text{:}$

$$x\in [0,1]\cup \{4\}\cup [5,+\infty ).$$

Проверка краёв и особых точек: в точках $x=0,1$ (граница ОДЗ и корень) произведение равно $80⩾0$ и $0⩾0$ соответственно — включаются; на $(1,4)$ и $(4,5)$ произведение отрицательно — исключаются; в $x=4$ произведение равно $0$ — включается как изолированная точка; на $[5,+\infty )$ произведение положительно. Отрицательные $x$ исключены ОДЗ.