Решите неравенство: (x^2-5x+4)(x^2-9x+20)* 2^(sqrt(x))>= 0.

Множитель 2^(sqrt(x)) определён лишь при x 0 (под корнем должно стоять неотрицательное число). Поэтому ОДЗ неравенства: x 0. При x 0 множитель 2^(sqrt(x))>0 всегда (показательная функция положительна), поэтому он не влияет на знак произведения, и неравенство равносильно (на ОДЗ) неравенству (x^2-5x+4)(x^2-9x+20) 0. Разложим квадратные трёхчлены на множители: x^2-5x+4=(x-1)(x-4), x^2-9x+20=(x-4)(x-5). Тогда (x^2-5x+4)(x^2-9x+20)=(x-1)(x-4)^2(x-5). Множитель (x-4)^2 0 знак не меняет, поэтому при x!= 4 знак произведения совпадает со знаком (x-1)(x-5), а в точке x=4 произведение обращается в нуль (и неравенство, нестрогое, выполняется). Решим (x-1)(x-5) 0 методом интервалов: парабола с корнями 1 и 5 неотрицательна при x 1 или x 5. К этому добавляется изолированная точка x=4, где исходное произведение равно нулю. Итак, с учётом самого произведения получаем xin(-inf,1]U4U[5,+inf). Остаётся пересечь это с ОДЗ x 0: xin[0,1]U4U[5,+inf). Проверка краёв и особых точек: в точках x=0,1 (граница ОДЗ и корень) произведение равно 80 0 и 0 0 соответственно — включаются; на (1,4) и (4,5) произведение отрицательно — исключаются; в x=4 произведение равно 0 — включается как изолированная точка; на [5,+inf) произведение положительно. Отрицательные x исключены ОДЗ.

x \in [0,1]\cup\{4\}\cup[5,+\infty)