Задача №17804

Решите уравнение:

$${\sin }^{2}2x={\sin }^{2}x.$$

Преобразуем уравнение, используя формулу $\sin 2x=2\sin x\cos x\text{:}$

$${\sin }^{2}2x={\sin }^{2}x⟺4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x⟺{\sin }^{2}x(4{\cos }^{2}x-1)=0.$$

Область определения — вся числовая прямая ($\sin$ определён всюду), поэтому посторонних корней и ограничений ОДЗ нет.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда обращается в нуль хотя бы один из множителей.

1) ${\sin }^{2}x=0⟺\sin x=0⟺x=\pi n,n\in \mathbb{Z}.$

2) $4{\cos }^{2}x-1=0⟺{\cos }^{2}x=\frac{1}{4}⟺\cos x=\pm \frac{1}{2}⟺x=\pm \frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$

(Здесь обе серии $x=\pm \frac{\pi }{3}+\pi k$ удобнее объединять знаком $\pm \text{;}$ они же эквивалентны записи $x=\frac{\pi }{3}+\pi k$ и $x=\frac{2\pi }{3}+\pi k\text{,}$ поскольку $\frac{2\pi }{3}=-\frac{\pi }{3}+\pi \text{.}$)

Объединяя оба случая, получаем все решения:

$$x=\pi n,x=\pm \frac{\pi }{3}+\pi k,n,k\in \mathbb{Z}.$$

Проверка. При $x=\pi n\text{:}$ $\sin x=0$ и $\sin 2x=0\text{,}$ равенство $0=0$ выполнено. При $x=\pm \frac{\pi }{3}+\pi k\text{:}$ $\cos x=\pm \frac{1}{2}\text{,}$ тогда ${\sin }^{2}2x=4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=4{\sin }^{2}x\cdot \frac{1}{4}={\sin }^{2}x$ — равенство выполнено.