Решите уравнение: sin^2 2x=sin^2 x.

Преобразуем уравнение, используя формулу sin 2x=2sin xcos x: sin^2 2x=sin^2 x 4sin^2 xcos^2 x=sin^2 x sin^2 x(4cos^2 x-1)=0. Область определения — вся числовая прямая (sin определён всюду), поэтому посторонних корней и ограничений ОДЗ нет. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда обращается в нуль хотя бы один из множителей. 1) sin^2 x=0 sin x=0 x=pi n, ninZ. 2) 4cos^2 x-1=0 cos^2 x=14 cos x=+-12 x=+-(pi)/(3)+pi k, kinZ. (Здесь обе серии x=+-(pi)/(3)+pi k удобнее объединять знаком +-; они же эквивалентны записи x=(pi)/(3)+pi k и x=(2pi)/(3)+pi k, поскольку (2pi)/(3)=-(pi)/(3)+pi.) Объединяя оба случая, получаем все решения: x=pi n, x=+-(pi)/(3)+pi k, n,kinZ. **Проверка.** При x=pi n: sin x=0 и sin 2x=0, равенство 0=0 выполнено. При x=+-(pi)/(3)+pi k: cos x=+-12, тогда sin^2 2x=4sin^2 xcos^2 x=4sin^2 x*14=sin^2 x — равенство выполнено.

x = \pi n,\ x = \pm\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\quad n,k\in\mathbb{Z}