Решите систему уравнений: casesx^4*sqrt(x-y)=0, y^2+5y=24+xy.cases

Решим систему уравнений casesx^4*sqrt(x-y)=0, y^2+5y=24+xy.cases Найдём область допустимых значений. Подкоренное выражение в первом уравнении должно быть неотрицательным, поэтому требуется x-y>= 0, то есть x>= y. Первое уравнение x^4*sqrt(x-y)=0 выполнено тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: x^4=0 или sqrt(x-y)=0, то есть x=0 или x=y. Разберём оба случая, учитывая ОДЗ и второе уравнение. Случай 1: x=0. Условие ОДЗ принимает вид 0-y>= 0, то есть y<= 0. Подставим x=0 во второе уравнение: y^2+5y=24+0* y y^2+5y-24=0. По теореме Виета (или через дискриминант D=25+96=121) получаем y=(-5+- 11)/(2), то есть y=3 или y=-8. Корень y=3 не удовлетворяет условию ОДЗ y<= 0 (при нём x-y=0-3=-3<0, и sqrt(x-y) не определён), поэтому он посторонний и отбрасывается. Корень y=-8 допустим: тогда x-y=0-(-8)=8>= 0. Получаем решение (x,y)=(0,-8). Случай 2: x=y. Здесь x-y=0>= 0, ОДЗ выполнено при любом значении. Подставим x=y во второе уравнение: y^2+5y=24+y* y y^2+5y=24+y^2 5y=24 y=(24)/(5). Тогда x=y=(24)/(5). Получаем решение ((24)/(5),(24)/(5)). Проверка. Для (0,-8): x-y=8>= 0, первое уравнение 0^4*sqrt(8)=0; второе: (-8)^2+5*(-8)=64-40=24 и 24+0*(-8)=24 — верно. Для ((24)/(5),(24)/(5)): x-y=0>= 0, первое уравнение ((24)/(5))^4*sqrt(0)=0; второе: ((24)/(5))^2+5*(24)/(5)=(576)/(25)+24=(1176)/(25) и 24+(24)/(5)*(24)/(5)=24+(576)/(25)=(1176)/(25) — верно. Других решений нет. (x,y)=(0,-8) и (x,y)=((24)/(5),(24)/(5)).

(0; -8), (24/5; 24/5)