Задача №17803

Решите систему уравнений:

$$\{\begin{array}{l}{x}^4\cdot \sqrt{x-y}=0,\\ y^2+5y=24+xy.\end{array}$$

Решим систему уравнений

$$\{\begin{array}{l}{x}^4\cdot \sqrt{x-y}=0,\\ y^2+5y=24+xy.\end{array}$$

Найдём область допустимых значений. Подкоренное выражение в первом уравнении должно быть неотрицательным, поэтому требуется $x-y\ge 0\text{,}$ то есть $x\ge y\text{.}$

Первое уравнение $x^4\cdot \sqrt{x-y}=0$ выполнено тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$x^4=0\text{или}\sqrt{x-y}=0,$$

то есть $x=0$ или $x=y\text{.}$ Разберём оба случая, учитывая ОДЗ и второе уравнение.

Случай 1: $x=0\text{.}$ Условие ОДЗ принимает вид $0-y\ge 0\text{,}$ то есть $y\le 0\text{.}$ Подставим $x=0$ во второе уравнение:

$$y^2+5y=24+0\cdot y⟺y^2+5y-24=0.$$

По теореме Виета (или через дискриминант $D=25+96=121$) получаем

$$y=\frac{-5\pm 11}{2},\text{то есть}y=3\text{или}y=-8.$$

Корень $y=3$ не удовлетворяет условию ОДЗ $y\le 0$ (при нём $x-y=0-3=-3<0\text{,}$ и $\sqrt{x-y}$ не определён), поэтому он посторонний и отбрасывается. Корень $y=-8$ допустим: тогда $x-y=0-(-8)=8\ge 0\text{.}$ Получаем решение $(x,y)=(0,-8)\text{.}$

Случай 2: $x=y\text{.}$ Здесь $x-y=0\ge 0\text{,}$ ОДЗ выполнено при любом значении. Подставим $x=y$ во второе уравнение:

$$y^2+5y=24+y\cdot y⟺y^2+5y=24+y^2⟺5y=24⟺y=\frac{24}{5}.$$

Тогда $x=y=\frac{24}{5}\text{.}$ Получаем решение $\left(\frac{24}{5},\frac{24}{5}\right)\text{.}$

Проверка. Для $(0,-8)\text{:}$ $x-y=8\ge 0\text{,}$ первое уравнение $0^4\cdot \sqrt{8}=0\text{;}$ второе: $(-8{)}^2+5\cdot (-8)=64-40=24$ и $24+0\cdot (-8)=24$ — верно. Для $\left(\frac{24}{5},\frac{24}{5}\right)\text{:}$ $x-y=0\ge 0\text{,}$ первое уравнение ${\left(\frac{24}{5}\right)}^4\cdot \sqrt{0}=0\text{;}$ второе: ${\left(\frac{24}{5}\right)}^2+5\cdot \frac{24}{5}=\frac{576}{25}+24=\frac{1176}{25}$ и $24+\frac{24}{5}\cdot \frac{24}{5}=24+\frac{576}{25}=\frac{1176}{25}$ — верно.

Других решений нет.

$$\boxed{(x,y)=(0,-8)\text{и}(x,y)=\left(\frac{24}{5},\frac{24}{5}\right).}$$