Задача №17800

Определите, при каких значениях параметра $a$ уравнение

$$a\sqrt{x+y}=\sqrt{2x}+\sqrt{3y}$$

имеет единственное решение $(x,y)\text{.}$

ОДЗ. Подкоренные выражения неотрицательны: нужно $x⩾0\text{,}$ $y⩾0$ (тогда и $x+y⩾0$ автоматически). Рассматриваем точки $(x,y)$ первого квадранта вместе с границей.

Тривиальное решение. В точке $(0,0)$ обе части равны нулю: $a\sqrt{0}=0=\sqrt{0}+\sqrt{0}\text{.}$ Значит, $(0,0)$ удовлетворяет уравнению при любом значении $a\text{.}$ Поэтому уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда других решений, кроме $(0,0)\text{,}$ нет.

Однородность. Для $x+y>0$ поделим обе части на $\sqrt{x+y}>0\text{:}$

$$a=\frac{\sqrt{2x}+\sqrt{3y}}{\sqrt{x+y}}=:f(x,y).$$

Функция $f$ однородна нулевой степени: при любом $t>0$

$$f(tx,ty)=\frac{\sqrt{2tx}+\sqrt{3ty}}{\sqrt{t(x+y)}}=\frac{\sqrt{t}(\sqrt{2x}+\sqrt{3y})}{\sqrt{t}\sqrt{x+y}}=f(x,y).$$

Следовательно, если уравнению удовлетворяет хотя бы одна ненулевая точка $(x_0,y_0)\text{,}$ то ему удовлетворяет и весь луч $(t{x}_0,t{y}_0)\text{,}$ $t>0$ (прямая подстановка: $a\sqrt{t(x_0+y_0)}=\sqrt{t}a\sqrt{x_0+y_0}=\sqrt{t}(\sqrt{2x_0}+\sqrt{3y_0})=\sqrt{2t{x}_0}+\sqrt{3t{y}_0}$). Тем самым любое ненулевое решение порождает бесконечно много решений.

Вывод: единственность равносильна тому, что $a$ не принадлежит множеству значений функции $f$ (то есть ни на одном направлении уравнение не выполняется).

Множество значений $f\text{.}$ В силу однородности достаточно взять направления с $x+y=1\text{.}$ Положим $y=1-x\text{,}$ $x\in [0,1]\text{:}$

$$g(x)=\sqrt{2x}+\sqrt{3(1-x)}.$$

Производная:

$$g^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{2x}}-\frac{1}{\sqrt{3(1-x)}}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{?}.$$

Удобнее так: $g^{\prime }(x)=\frac{2}{2\sqrt{2x}}-\frac{3}{2\sqrt{3(1-x)}}=\frac{1}{\sqrt{2x}}\cdot 1-\frac{1}{\sqrt{3(1-x)}}\cdot \frac{3}{2}\text{.}$ Приравнивая $g^{\prime }(x)=0\text{,}$ получаем единственную критическую точку $x=\frac{2}{5}$ (соответственно $y=\frac{3}{5}$), где

$$g\left(\frac{2}{5}\right)=\sqrt{\frac{4}{5}}+\sqrt{\frac{9}{5}}=\frac{2+3}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}.$$

На концах: $g(0)=\sqrt{3}\text{,}$ $g(1)=\sqrt{2}\text{.}$ Функция $g$ непрерывна на $[0,1]\text{,}$ возрастает на $[0,\frac{2}{5}]$ от $\sqrt{3}$ до $\sqrt{5}$ и убывает на $[\frac{2}{5},1]$ от $\sqrt{5}$ до $\sqrt{2}\text{.}$ Поэтому множество значений

$$g([0,1])=[\sqrt{2},\sqrt{5}].$$

Кроме того, для ненулевой точки $a=f(x,y)=\frac{\sqrt{2x}+\sqrt{3y}}{\sqrt{x+y}}⩾0\text{,}$ так что при $a<0$ ненулевых решений нет вовсе.

Итог. Ненулевые решения (а значит, бесконечно много решений) существуют тогда и только тогда, когда $a\in [\sqrt{2},\sqrt{5}]\text{.}$ При этом значении единственности нет. Если же

$$a<\sqrt{2}\text{или}a>\sqrt{5},$$

то ни одно направление не даёт решения, и остаётся только $(0,0)$ — решение единственно. (Концы $a=\sqrt{2}$ и $a=\sqrt{5}$ дают лучи решений — направления $(1,0)$ и $(2,3)$ соответственно, — поэтому в ответ не входят.)

Ответ: $a<\sqrt{2}$ или $a>\sqrt{5}\text{,}$ то есть $a\in (-\infty ,\sqrt{2})\cup (\sqrt{5},+\infty )\text{.}$