Определите, при каких значениях параметра a уравнение asqrt(x+y)=sqrt(2x)+sqrt(3y) имеет единственное решение (x,y).

**ОДЗ.** Подкоренные выражения неотрицательны: нужно x 0, y 0 (тогда и x+y 0 автоматически). Рассматриваем точки (x,y) первого квадранта вместе с границей. **Тривиальное решение.** В точке (0,0) обе части равны нулю: asqrt(0)=0=sqrt(0)+sqrt(0). Значит, (0,0) удовлетворяет уравнению **при любом** значении a. Поэтому уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда других решений, кроме (0,0), нет. **Однородность.** Для x+y>0 поделим обе части на sqrt(x+y)>0: a=(sqrt(2x)+sqrt(3y))/(sqrt(x+y))=:f(x,y). Функция f однородна нулевой степени: при любом t>0 f(tx,ty)=(sqrt(2tx)+sqrt(3ty))/(sqrt(t(x+y)))=(sqrt(t)(sqrt(2x)+sqrt(3y)))/(sqrt(t)sqrt(x+y))=f(x,y). Следовательно, если уравнению удовлетворяет хотя бы одна ненулевая точка (x_0,y_0), то ему удовлетворяет и весь луч (tx_0,ty_0), t>0 (прямая подстановка: asqrt(t(x_0+y_0))=sqrt(t)asqrt(x_0+y_0)=sqrt(t)(sqrt(2x_0)+sqrt(3y_0))=sqrt(2tx_0)+sqrt(3ty_0)). Тем самым **любое** ненулевое решение порождает бесконечно много решений. Вывод: единственность равносильна тому, что a **не** принадлежит множеству значений функции f (то есть ни на одном направлении уравнение не выполняется). **Множество значений f.** В силу однородности достаточно взять направления с x+y=1. Положим y=1-x, xin[0,1]: g(x)=sqrt(2x)+sqrt(3(1-x)). Производная: g'(x)=(1)/(sqrt(2x))-(1)/(sqrt(3(1-x)))*(3)/(2)*(1)/(?). Удобнее так: g'(x)=(2)/(2sqrt(2x))-(3)/(2sqrt(3(1-x)))=(1)/(sqrt(2x))* 1-(1)/(sqrt(3(1-x)))*(3)/(2). Приравнивая g'(x)=0, получаем единственную критическую точку x=(2)/(5) (соответственно y=(3)/(5)), где g((2)/(5))=sqrt((4)/(5))+sqrt((9)/(5))=(2+3)/(5)=5. На концах: g(0)=3, g(1)=2. Функция g непрерывна на [0,1], возрастает на [0,25] от 3 до 5 и убывает на [25,1] от 5 до 2. Поэтому множество значений g([0,1])=[2, 5]. Кроме того, для ненулевой точки a=f(x,y)=(sqrt(2x)+sqrt(3y))/(sqrt(x+y)) 0, так что при a<0 ненулевых решений нет вовсе. **Итог.** Ненулевые решения (а значит, бесконечно много решений) существуют тогда и только тогда, когда ain[2, 5]. При этом значении единственности нет. Если же a<2 или a>5, то ни одно направление не даёт решения, и остаётся только (0,0) — решение единственно. (Концы a=2 и a=5 дают лучи решений — направления (1,0) и (2,3) соответственно, — поэтому в ответ не входят.) **Ответ:** a<2 или a>5, то есть ain(-inf,2)U(5,+inf).

a < \sqrt{2} \text{ или } a > \sqrt{5}