Найдите площадь фигуры, состоящей из точек (x,y) координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению |2y-x|+2|y+4|+|x|=8.

Обозначим F(x,y)=|2y-x|+2|y+4|+|x| и исследуем множество точек, для которых F(x,y)=8. Ключевое наблюдение: модули раскрываются по знакам своих аргументов. Рассмотрим область, где одновременно 2y-x 0, y+4 0, x 0. В ней |2y-x|=x-2y, 2|y+4|=2(y+4)=2y+8, |x|=-x, поэтому F(x,y)=(x-2y)+(2y+8)+(-x)=8. Сумма тождественно равна 8 и не зависит от конкретных x,y. Значит, любая точка этой области удовлетворяет уравнению. Покажем, что вне указанной области F>8, то есть других решений нет. Поскольку для любых вещественных a,b,c и любого выбора знаков _i=+-1 выполнено |a|+|b|+|c| _1 a+_2 b+_3 c, в частности F(x,y)=|2y-x|+2|y+4|+|x| (x-2y)+2(y+4)+(-x)=8, причём это конкретное неравенство обращается в равенство в точности тогда, когда каждое слагаемое берётся со «своим» знаком, то есть когда 2y-x 0, y+4 0 и x 0 одновременно. Следовательно, множество решений уравнения F(x,y)=8 совпадает ровно с областью =(x,y): x 0, y -4, y (x)/(2). (Проверка нарушения каждого из условий даёт F>8: например, при x>0 точка (1,-2) даёт F=10; при y<-4 точка (-2,-5) даёт F=12; при 2y-x>0 точка (-2,1) даёт F=16.) Итак, искомая фигура — это область , задаваемая тремя линейными неравенствами. Её границы — прямые x=0, y=-4 и y=(x)/(2) (то есть 2y-x=0). Найдём вершины: x=0, y=-4: (0,-4); x=0, y=(x)/(2)=0: (0,0); y=-4, (x)/(2)=-4: (-8,-4). Получаем треугольник с вершинами (0,0), (0,-4), (-8,-4). Площадь. Сторона на прямой x=0 (от (0,0) до (0,-4)) имеет длину 4; высота, опущенная на неё из вершины (-8,-4), равна расстоянию по горизонтали, то есть 8. Поэтому S=(1)/(2)* 4* 8=16. (По формуле площади через координаты вершин: S=12|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=12|0*(-4-(-4))+0*(-4-0)+(-8)*(0-(-4))|=12* 32=16.) Таким образом, площадь фигуры равна 16.

16