Задача №17798

Найдите площадь фигуры, состоящей из точек $(x,y)$ координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению

$$|2y-x|+2|y+4|+|x|=8.$$

Обозначим $F(x,y)=|2y-x|+2|y+4|+|x|$ и исследуем множество точек, для которых $F(x,y)=8\text{.}$

Ключевое наблюдение: модули раскрываются по знакам своих аргументов. Рассмотрим область, где одновременно

$$2y-x⩽0,y+4⩾0,x⩽0.$$

В ней $|2y-x|=x-2y\text{,}$ $2|y+4|=2(y+4)=2y+8\text{,}$ $|x|=-x\text{,}$ поэтому

$$F(x,y)=(x-2y)+(2y+8)+(-x)=8.$$

Сумма тождественно равна $8$ и не зависит от конкретных $x,y\text{.}$ Значит, любая точка этой области удовлетворяет уравнению.

Покажем, что вне указанной области $F>8\text{,}$ то есть других решений нет. Поскольку для любых вещественных $a,b,c$ и любого выбора знаков ${\epsilon }_i=\pm 1$ выполнено $|a|+|b|+|c|⩾{\epsilon }_{1}a+{\epsilon }_{2}b+{\epsilon }_{3}c\text{,}$ в частности

$$F(x,y)=|2y-x|+2|y+4|+|x|⩾(x-2y)+2(y+4)+(-x)=8,$$

причём это конкретное неравенство обращается в равенство в точности тогда, когда каждое слагаемое берётся со «своим» знаком, то есть когда $2y-x⩽0\text{,}$ $y+4⩾0$ и $x⩽0$ одновременно. Следовательно, множество решений уравнения $F(x,y)=8$ совпадает ровно с областью

$$\Omega =\{(x,y):x⩽0,y⩾-4,y⩽\frac{x}{2}\}.$$

(Проверка нарушения каждого из условий даёт $F>8\text{:}$ например, при $x>0$ точка $(1,-2)$ даёт $F=10\text{;}$ при $y<-4$ точка $(-2,-5)$ даёт $F=12\text{;}$ при $2y-x>0$ точка $(-2,1)$ даёт $F=16\text{.}$)

Итак, искомая фигура — это область $\Omega \text{,}$ задаваемая тремя линейными неравенствами. Её границы — прямые $x=0\text{,}$ $y=-4$ и $y=\frac{x}{2}$ (то есть $2y-x=0$). Найдём вершины:

$$x=0,y=-4:(0,-4);x=0,y=\frac{x}{2}=0:(0,0);y=-4,\frac{x}{2}=-4:(-8,-4).$$

Получаем треугольник с вершинами $(0,0)\text{,}$ $(0,-4)\text{,}$ $(-8,-4)\text{.}$

Площадь. Сторона на прямой $x=0$ (от $(0,0)$ до $(0,-4)$) имеет длину $4\text{;}$ высота, опущенная на неё из вершины $(-8,-4)\text{,}$ равна расстоянию по горизонтали, то есть $8\text{.}$ Поэтому

$$S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 8=16.$$

(По формуле площади через координаты вершин: $S=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=\frac{1}{2}|0\cdot (-4-(-4))+0\cdot (-4-0)+(-8)\cdot (0-(-4))|=\frac{1}{2}\cdot 32=16\text{.}$)

Таким образом, площадь фигуры равна $16\text{.}$