Определите, при каких значениях параметра a уравнение asqrt(x+y)=sqrt(3x)+2sqrt(y) имеет единственное решение (x,y).

Уравнение определено при x>= 0, y>= 0. Введём новые переменные u=sqrt(x)>= 0 и v=sqrt(y)>= 0; тогда x=u^2, y=v^2, и соответствие между парами (x,y) и (u,v) в первом квадранте взаимно однозначно. Уравнение принимает вид asqrt(u^2+v^2)=sqrt(3)u+2v. Пара (0,0) (то есть x=y=0) удовлетворяет этому уравнению при любом a. Значит, требование «ровно одно решение» равносильно тому, что на множестве K пар (u,v) с u>= 0, v>= 0, не равных нулю одновременно, уравнение не имеет решений вовсе. Поскольку при (u,v)inK имеем u^2+v^2>0, это равносильно тому, что число a не входит в область значений функции f(u,v)=(sqrt(3)u+2v)/(sqrt(u^2+v^2)), (u,v)inK. Найдём область значений f. Перейдём к полярному углу: положим u=rcos, v=rsin с r>0. Условие u>= 0, v>= 0 означает [0,(pi)/(2)], а r сокращается: f=sqrt(3)cos+2sin. Это выражение от r не зависит, поэтому область значений f на K совпадает с множеством значений функции g()=sqrt(3)cos+2sin при [0,(pi)/(2)]. Запишем g() в виде одной синусоиды. Так как sqrt((3)^2+2^2)=sqrt(7), имеем g()=sqrt(7)((sqrt(3))/(sqrt(7))cos+(2)/(sqrt(7))sin)=sqrt(7)sin(+), где вспомогательный угол (0,(pi)/(2)) определён равенствами sin=(sqrt(3))/(sqrt(7)), cos=(2)/(sqrt(7)). Когда пробегает отрезок [0,(pi)/(2)], сумма + меняется на отрезке [, (pi)/(2)+], который содержит точку (pi)/(2). Поэтому sin(+) сначала возрастает от sin=(sqrt(3))/(sqrt(7)) до 1, а затем убывает до cos=(2)/(sqrt(7)). Меньшее из крайних значений равно (sqrt(3))/(sqrt(7)), поэтому функция g()=sqrt(7)sin(+) принимает все значения отрезка [sqrt(3), sqrt(7)]. Итак, область значений f — это отрезок [sqrt(3), sqrt(7)]. Значит, уравнение не имеет нетривиальных решений (и потому исходная задача имеет единственное решение (0,0)) тогда и только тогда, когда a лежит вне этого отрезка, то есть a<sqrt(3) или a>sqrt(7).

a<\sqrt{3}\ \text{или}\ a>\sqrt{7}