Задача №17784

Определите, при каких значениях параметра $a$ уравнение

$$a\sqrt{x+y}=\sqrt{3x}+2\sqrt{y}$$

имеет единственное решение $(x,y)\text{.}$

Уравнение определено при $x\ge 0,y\ge 0\text{.}$ Введём новые переменные $u=\sqrt{x}\ge 0$ и $v=\sqrt{y}\ge 0\text{;}$ тогда $x=u^2\text{,}$ $y=v^2\text{,}$ и соответствие между парами $(x,y)$ и $(u,v)$ в первом квадранте взаимно однозначно. Уравнение принимает вид

$$a\sqrt{u^2+v^2}=\sqrt{3}u+2v.$$

Пара $(0,0)$ (то есть $x=y=0$) удовлетворяет этому уравнению при любом $a\text{.}$ Значит, требование «ровно одно решение» равносильно тому, что на множестве $\mathbb{K}$ пар $(u,v)$ с $u\ge 0,v\ge 0\text{,}$ не равных нулю одновременно, уравнение не имеет решений вовсе. Поскольку при $(u,v)\in \mathbb{K}$ имеем $u^2+v^2>0\text{,}$ это равносильно тому, что число $a$ не входит в область значений функции

$$f(u,v)=\frac{\sqrt{3}u+2v}{\sqrt{u^2+v^2}},(u,v)\in \mathbb{K}.$$

Найдём область значений $f\text{.}$ Перейдём к полярному углу: положим $u=r\cos \phi ,v=r\sin \phi$ с $r>0\text{.}$ Условие $u\ge 0,v\ge 0$ означает $\phi \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]\text{,}$ а $r$ сокращается:

$$f=\sqrt{3}\cos \phi +2\sin \phi .$$

Это выражение от $r$ не зависит, поэтому область значений $f$ на $\mathbb{K}$ совпадает с множеством значений функции $g(\phi )=\sqrt{3}\cos \phi +2\sin \phi$ при $\phi \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]\text{.}$

Запишем $g(\phi )$ в виде одной синусоиды. Так как $\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+2^2}=\sqrt{7}\text{,}$ имеем

$$g(\phi )=\sqrt{7}\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\cos \phi +\frac{2}{\sqrt{7}}\sin \phi \right)=\sqrt{7}\sin (\phi +\psi ),$$

где вспомогательный угол $\psi \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ определён равенствами $\sin \psi =\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\text{,}$ $\cos \psi =\frac{2}{\sqrt{7}}\text{.}$

Когда $\phi$ пробегает отрезок $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]\text{,}$ сумма $\phi +\psi$ меняется на отрезке $\left[\psi ,\frac{\pi }{2}+\psi \right]\text{,}$ который содержит точку $\frac{\pi }{2}\text{.}$ Поэтому $\sin (\phi +\psi )$ сначала возрастает от $\sin \psi =\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ до $1\text{,}$ а затем убывает до $\cos \psi =\frac{2}{\sqrt{7}}\text{.}$ Меньшее из крайних значений равно $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\text{,}$ поэтому функция $g(\phi )=\sqrt{7}\sin (\phi +\psi )$ принимает все значения отрезка $\left[\sqrt{3},\sqrt{7}\right]\text{.}$

Итак, область значений $f$ — это отрезок $\left[\sqrt{3},\sqrt{7}\right]\text{.}$ Значит, уравнение не имеет нетривиальных решений (и потому исходная задача имеет единственное решение $(0,0)$) тогда и только тогда, когда $a$ лежит вне этого отрезка, то есть $a<\sqrt{3}$ или $a>\sqrt{7}\text{.}$