Задача №17782

Найдите площадь фигуры, состоящей из точек $(x,y)$ координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению

$$|x|+|x+3y|+3|y-2|=6.$$

Перепишем уравнение, внеся числовой множитель под знак модуля:

$$|-x|+|x+3y|+|-3y+6|=6.$$

Введём три величины $a=-x\text{,}$ $b=x+3y\text{,}$ $c=-3y+6\text{.}$ Их сумма равна

$$a+b+c=(-x)+(x+3y)+(-3y+6)=6,$$

то есть уравнение приобретает вид $|a|+|b|+|c|=a+b+c\text{.}$

Докажем ключевой факт: равенство $|a_1|+\dots +|a_n|=a_1+\dots +a_n$ выполняется тогда и только тогда, когда все слагаемые неотрицательны. В самом деле, всегда $|a_k|\ge a_k\text{;}$ складывая эти неравенства, получаем $\sum |a_k|\ge \sum a_k\text{,}$ причём равенство возможно лишь когда в каждом из неравенств $|a_k|\ge a_k$ стоит знак равенства, а это равносильно $a_k\ge 0\text{.}$

Значит, наша фигура задаётся системой $a\ge 0,b\ge 0,c\ge 0\text{,}$ то есть

$$\{\begin{array}{l}-x\ge 0\\ x+3y\ge 0\\ -3y+6\ge 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x\le 0\\ y\ge -\frac{x}{3}\\ y\le 2.\end{array}$$

Эта система задаёт на плоскости треугольник (вместе с внутренностью) с вершинами $A(-6,-2)\text{,}$ $O(0,0)\text{,}$ $B(0,2)\text{.}$ Это прямоугольный треугольник с катетами $OB$ (по вертикали, длина $2$) и $AB$ (по горизонтали, длина $6$). Его площадь равна

$$S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 2=6.$$