Найдите площадь фигуры, состоящей из точек (x,y) координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению |x|+|x+3y|+3|y-2|=6.

Перепишем уравнение, внеся числовой множитель под знак модуля: |-x|+|x+3y|+|-3y+6|=6. Введём три величины a=-x, b=x+3y, c=-3y+6. Их сумма равна a+b+c=(-x)+(x+3y)+(-3y+6)=6, то есть уравнение приобретает вид |a|+|b|+|c|=a+b+c. Докажем ключевой факт: равенство |a_1|++|a_n|=a_1++a_n выполняется тогда и только тогда, когда все слагаемые неотрицательны. В самом деле, всегда |a_k|>= a_k; складывая эти неравенства, получаем |a_k|>= a_k, причём равенство возможно лишь когда в каждом из неравенств |a_k|>= a_k стоит знак равенства, а это равносильно a_k>= 0. Значит, наша фигура задаётся системой a>= 0, b>= 0, c>= 0, то есть cases-x>= 0 x+3y>= 0 -3y+6>= 0cases<= 0 y>= -(x)/(3) y<= 2.cases Эта система задаёт на плоскости треугольник (вместе с внутренностью) с вершинами A(-6,-2), O(0,0), B(0,2). Это прямоугольный треугольник с катетами OB (по вертикали, длина 2) и AB (по горизонтали, длина 6). Его площадь равна S=(1)/(2)* 6* 2=6.

S=6