Решите уравнение sin 3x=sqrt(2)cos x-sin x.

Раскроем синус тройного угла по формуле sin 3x=3sin x-4sin^3 x: 3sin x-4sin^3 x=sqrt(2)cos x-sin x. Перенесём -sin x влево и вынесем общий множитель: 4sin x-4sin^3 x=sqrt(2)cos x 4sin x(1-sin^2 x)=sqrt(2)cos x 4sin xcos^2 x=sqrt(2)cos x. Перенося всё в одну часть, получаем cos x(4sin xcos x-sqrt(2))=0, то есть уравнение распадается на два: cos x=0 или 4sin xcos x=sqrt(2). Первое уравнение даёт серию x=(pi)/(2)+pi n, ninZ. Второе уравнение, используя 2sin xcos x=sin 2x, приводится к виду sin 2x=(sqrt(2))/(2). Его решения удобно записать двумя сериями: 2x=(pi)/(4)+2pi n или 2x=(3pi)/(4)+2pi n, ninZ, откуда x=(pi)/(8)+pi n или x=(3pi)/(8)+pi n, ninZ. Объединяя найденные серии, получаем ответ.

x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\dfrac{\pi}{8}+\pi n,\quad x=\dfrac{3\pi}{8}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}