Задача №17781

Решите уравнение

$$\sin 3x=\sqrt{2}\cos x-\sin x.$$

Раскроем синус тройного угла по формуле $\sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{3}x\text{:}$

$$3\sin x-4{\sin }^{3}x=\sqrt{2}\cos x-\sin x.$$

Перенесём $-\sin x$ влево и вынесем общий множитель:

$$4\sin x-4{\sin }^{3}x=\sqrt{2}\cos x⟺4\sin x(1-{\sin }^{2}x)=\sqrt{2}\cos x⟺4\sin x{\cos }^{2}x=\sqrt{2}\cos x.$$

Перенося всё в одну часть, получаем $\cos x(4\sin x\cos x-\sqrt{2})=0\text{,}$ то есть уравнение распадается на два:

$$\cos x=0\text{или}4\sin x\cos x=\sqrt{2}.$$

Первое уравнение даёт серию

$$x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}.$$

Второе уравнение, используя $2\sin x\cos x=\sin 2x\text{,}$ приводится к виду $\sin 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{.}$ Его решения удобно записать двумя сериями:

$$2x=\frac{\pi }{4}+2\pi n\text{или}2x=\frac{3\pi }{4}+2\pi n,n\in \mathbb{Z},$$

откуда

$$x=\frac{\pi }{8}+\pi n\text{или}x=\frac{3\pi }{8}+\pi n,n\in \mathbb{Z}.$$

Объединяя найденные серии, получаем ответ.