Решите систему неравенств cases2x^2+4xy+11y^2 1, 4x+7y 3.cases

Выделим в левой части первого неравенства полный квадрат по x: 2x^2+4xy+11y^2=2(x^2+2xy+y^2)+9y^2=2(x+y)^2+9y^2. Введём новые переменные u=sqrt(2)x+sqrt(2)y и v=3y; тогда первое неравенство принимает вид u^2+v^2<= 1. Обратные формулы x=(u)/(sqrt(2))-(v)/(3), y=(v)/(3) задают взаимно однозначное соответствие между парами (x,y) и (u,v). Подставив их во второе неравенство 4x+7y>= 3, получаем 2sqrt(2)u+v>= 3. Итак, система равносильна casesu^2+v^2<= 1, 2sqrt(2)u+v>= 3.cases На плоскости (u,v) первое неравенство задаёт круг радиуса 1 с центром в начале координат, второе — полуплоскость над прямой 2sqrt(2)u+v=3. Выясним их взаимное расположение, решив систему уравнений u^2+v^2=1, 2sqrt(2)u+v=3. Подставив v=3-2sqrt(2)u, получим 9u^2-12sqrt(2)u+8=0; дискриминант равен нулю, поэтому есть единственное решение u=(2sqrt(2))/(3), v=(1)/(3). Значит, прямая касается окружности, и пересечение круга с полуплоскостью — единственная точка касания ((2sqrt(2))/(3),(1)/(3)). Восстановим исходные переменные: x=(u)/(sqrt(2))-(v)/(3)=(2sqrt(2)/3)/(sqrt(2))-(1/3)/(3)=(2)/(3)-(1)/(9)=(5)/(9), y=(v)/(3)=(1)/(9). Таким образом, система имеет единственное решение ((5)/(9),(1)/(9)).

\left\{\left(\dfrac{5}{9},\dfrac{1}{9}\right)\right\}