Задача №17753

Решите систему неравенств

$$\{\begin{array}{l}2x^2+4xy+11y^2⩽1,\\ 4x+7y⩾3.\end{array}$$

Выделим в левой части первого неравенства полный квадрат по $x\text{:}$

$$2x^2+4xy+11y^2=2(x^2+2xy+y^2)+9y^2=2(x+y{)}^2+9y^2.$$

Введём новые переменные $u=\sqrt{2}x+\sqrt{2}y$ и $v=3y\text{;}$ тогда первое неравенство принимает вид $u^2+v^2\le 1\text{.}$ Обратные формулы $x=\frac{u}{\sqrt{2}}-\frac{v}{3}\text{,}$ $y=\frac{v}{3}$ задают взаимно однозначное соответствие между парами $(x,y)$ и $(u,v)\text{.}$ Подставив их во второе неравенство $4x+7y\ge 3\text{,}$ получаем $2\sqrt{2}u+v\ge 3\text{.}$ Итак, система равносильна

$$\{\begin{array}{l}{u}^2+v^2\le 1,\\ 2\sqrt{2}u+v\ge 3.\end{array}$$

На плоскости $(u,v)$ первое неравенство задаёт круг радиуса $1$ с центром в начале координат, второе — полуплоскость над прямой $2\sqrt{2}u+v=3\text{.}$ Выясним их взаимное расположение, решив систему уравнений $u^2+v^2=1\text{,}$ $2\sqrt{2}u+v=3\text{.}$ Подставив $v=3-2\sqrt{2}u\text{,}$ получим $9u^2-12\sqrt{2}u+8=0\text{;}$ дискриминант равен нулю, поэтому есть единственное решение $u=\frac{2\sqrt{2}}{3}\text{,}$ $v=\frac{1}{3}\text{.}$ Значит, прямая касается окружности, и пересечение круга с полуплоскостью — единственная точка касания $\left(\frac{2\sqrt{2}}{3},\frac{1}{3}\right)\text{.}$

Восстановим исходные переменные:

$$x=\frac{u}{\sqrt{2}}-\frac{v}{3}=\frac{2\sqrt{2}/3}{\sqrt{2}}-\frac{1/3}{3}=\frac{2}{3}-\frac{1}{9}=\frac{5}{9},y=\frac{v}{3}=\frac{1}{9}.$$

Таким образом, система имеет единственное решение $\left(\frac{5}{9},\frac{1}{9}\right)\text{.}$