В закрытой коробке, имеющей форму куба со стороной 5, лежат два шара. Радиус первого из них равен 2. Этот шар касается плоскости основания и двух соседних боковых граней куба. Второй шар касается двух других боковых граней куба, плоскости основания и первого шара. Чему равен радиус второго шара?

Введём прямоугольную систему координат с началом в одной из вершин нижнего основания куба и осями вдоль трёх рёбер, выходящих из этой вершины; сторона куба a=5, радиус первого шара r_1=2, радиус второго обозначим x>0. Первый шар касается дна и двух соседних боковых граней (тех, что проходят через начало координат), поэтому каждая из трёх координат его центра равна радиусу: центр первого шара имеет координаты (2,2,2). Второй шар касается дна и двух противоположных боковых граней (с координатами 5), поэтому его центр — (5-x, 5-x, x). Расстояние между центрами равно sqrt((5-x-2)^2+(5-x-2)^2+(x-2)^2)=sqrt((3-x)^2+(3-x)^2+(x-2)^2)=sqrt(3x^2-16x+22). Шары касаются внешним образом, значит это расстояние равно сумме радиусов 2+x: sqrt(3x^2-16x+22)=x+2. Возводя в квадрат (правая часть при x>0 положительна), получаем 3x^2-16x+22=x^2+4x+4, то есть x^2-10x+9=0, откуда x=1 или x=9. Корень x=9 отбрасываем: такой шар имеет диаметр 18, почти вчетверо больше ребра куба, его центр оказался бы вне куба, и условие «шар лежит внутри коробки» не выполняется. Подходит x=1: центр второго шара (4,4,1), он касается первого шара и целиком лежит внутри куба.

радиус второго шара равен 1