В закрытой коробке, имеющей форму куба со стороной 5, лежат два шара. Радиус первого из них равен 2. Этот шар касается плоскости основания и двух соседних боковых граней куба. Второй шар касается двух других боковых граней куба, плоскости основания и первого шара. Чему равен радиус второго шара?
Введём прямоугольную систему координат с началом в одной из вершин нижнего основания куба и осями вдоль трёх рёбер, выходящих из этой вершины; сторона куба a=5, радиус первого шара r1=2, радиус второго обозначим x>0.
Первый шар касается дна и двух соседних боковых граней (тех, что проходят через начало координат), поэтому каждая из трёх координат его центра равна радиусу: центр первого шара имеет координаты (2,2,2). Второй шар касается дна и двух противоположных боковых граней (с координатами 5), поэтому его центр —
(5−x, 5−x, x).Расстояние между центрами равно
(5−x−2)2+(5−x−2)2+(x−2)2=(3−x)2+(3−x)2+(x−2)2=3x2−16x+22.Шары касаются внешним образом, значит это расстояние равно сумме радиусов 2+x:
3x2−16x+22=x+2.Возводя в квадрат (правая часть при x>0 положительна), получаем 3x2−16x+22=x2+4x+4, то есть x2−10x+9=0, откуда x=1 или x=9.
Корень x=9 отбрасываем: такой шар имеет диаметр 18, почти вчетверо больше ребра куба, его центр оказался бы вне куба, и условие «шар лежит внутри коробки» не выполняется. Подходит x=1: центр второго шара (4,4,1), он касается первого шара и целиком лежит внутри куба.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ДВИ МГУ