Задача №17751

Найдите наибольшее из значений функции

$$\frac{9^x}{4^x-6^x+9^x}$$

и точку $x\text{,}$ в которой это значение достигается.

Сначала убедимся, что знаменатель нигде не обращается в нуль. Разделив $4^x-6^x+9^x=0$ на $9^x>0\text{,}$ получим ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{2x}-{\left(\frac{2}{3}\right)}^x+1=0\text{;}$ как квадратный трёхчлен относительно $t={\left(\frac{2}{3}\right)}^x>0$ с дискриминантом $1-4<0$ он положителен при всех $t\text{.}$ Значит, функция определена на всей числовой прямой.

Заметив, что $9^x=(3^x{)}^2\text{,}$ $4^x=(2^x{)}^2\text{,}$ $6^x=2^x\cdot 3^x\text{,}$ разделим числитель и знаменатель на $(3^x{)}^2\text{:}$

$$y=\frac{9^x}{4^x-6^x+9^x}=\frac{1}{{\left(\frac{2}{3}\right)}^{2x}-{\left(\frac{2}{3}\right)}^x+1}.$$

Введём $z={\left(\frac{2}{3}\right)}^x>0\text{;}$ тогда $y=\frac{1}{z^2-z+1}\text{.}$ Знаменатель $u(z)=z^2-z+1$ — парабола с минимумом в вершине $z=\frac{1}{2}\text{,}$ где $u=\frac{3}{4}\text{.}$ Поскольку $y=\frac{1}{u}$ и $u>0\text{,}$ наибольшее значение $y$ достигается при наименьшем $u\text{,}$ то есть при $z=\frac{1}{2}\text{:}$

$$y_{\max }=\frac{1}{3/4}=\frac{4}{3}.$$

Остаётся найти соответствующий $x$ из условия ${\left(\frac{2}{3}\right)}^x=\frac{1}{2}\text{,}$ равносильного ${\left(\frac{3}{2}\right)}^x=2\text{.}$ Логарифмируя по основанию $2\text{,}$ получаем $x({\log }_{2}3-1)=1\text{,}$ откуда

$$x=\frac{1}{{\log }_{2}3-1}.$$