Найдите наибольшее из значений функции (9^x)/(4^x-6^x+9^x) и точку x, в которой это значение достигается.

Сначала убедимся, что знаменатель нигде не обращается в нуль. Разделив 4^x-6^x+9^x=0 на 9^x>0, получим ((2)/(3))^(2x)-((2)/(3))^(x)+1=0; как квадратный трёхчлен относительно t=((2)/(3))^(x)>0 с дискриминантом 1-4<0 он положителен при всех t. Значит, функция определена на всей числовой прямой. Заметив, что 9^x=(3^x)^2, 4^x=(2^x)^2, 6^x=2^x* 3^x, разделим числитель и знаменатель на (3^x)^2: y=(9^x)/(4^x-6^x+9^x)=(1)/(((2)/(3))^(2x)-((2)/(3))^(x)+1). Введём z=((2)/(3))^(x)>0; тогда y=(1)/(z^2-z+1). Знаменатель u(z)=z^2-z+1 — парабола с минимумом в вершине z=12, где u=34. Поскольку y=1u и u>0, наибольшее значение y достигается при наименьшем u, то есть при z=12: y_()=(1)/(3/4)=(4)/(3). Остаётся найти соответствующий x из условия ((2)/(3))^(x)=12, равносильного ((3)/(2))^(x)=2. Логарифмируя по основанию 2, получаем x(_2 3-1)=1, откуда x=(1)/(_2 3-1).

наибольшее значение \(\dfrac{4}{3}\), достигается при \(x=\dfrac{1}{\log_2 3-1}\)