Медианы AL и BM треугольника ABC пересекаются в точке K. Найдите длину отрезка CK, если AB=sqrt(3) и известно, что вокруг четырёхугольника KLCM можно описать окружность.

Обозначим c=AB=sqrt(3) и через m_c — длину медианы CN, проведённой к стороне AB (точка N — её середина); продолжение отрезка CK проходит через N, так как все три медианы пересекаются в одной точке K. Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому CK=(2)/(3)m_c. Проведём среднюю линию ML (точки M и L — середины сторон AC и BC); она параллельна AB и равна (c)/(2). Пусть P — точка пересечения ML и медианы CN. Поскольку ML AB, по теореме Фалеса P — середина отрезка CN, и значит CP=(m_c)/(2), PK=CK-CP=(2)/(3)m_c-(1)/(2)m_c=(m_c)/(6). Из подобия (коэффициент 12) получаем, что P делит среднюю линию пополам: MP=PL=(c)/(4). Точки K,L,C,M лежат на одной окружности, а хорды ML и CN этой окружности пересекаются в точке P. По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд MP* PL=CP* PK (c)/(4)*(c)/(4)=(m_c)/(2)*(m_c)/(6) 3c^2=4m_c^2 m_c=(sqrt(3))/(2)c. При c=sqrt(3) отсюда m_c=(sqrt(3))/(2)*sqrt(3)=(3)/(2), поэтому CK=(2)/(3)m_c=(2)/(3)*(3)/(2)=1.

CK=1