Задача №17750

Медианы $AL$ и $BM$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $K\text{.}$ Найдите длину отрезка $CK\text{,}$ если $AB=\sqrt{3}$ и известно, что вокруг четырёхугольника $KLCM$ можно описать окружность.

Обозначим $c=AB=\sqrt{3}$ и через $m_c$ — длину медианы $CN\text{,}$ проведённой к стороне $AB$ (точка $N$ — её середина); продолжение отрезка $CK$ проходит через $N\text{,}$ так как все три медианы пересекаются в одной точке $K\text{.}$ Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении $2:1\text{,}$ считая от вершины, поэтому

Проведём среднюю линию $ML$ (точки $M$ и $L$ — середины сторон $AC$ и $BC$); она параллельна $AB$ и равна $\frac{c}{2}\text{.}$ Пусть $P$ — точка пересечения $ML$ и медианы $CN\text{.}$ Поскольку $ML\parallel AB\text{,}$ по теореме Фалеса $P$ — середина отрезка $CN\text{,}$ и значит

Из подобия (коэффициент $\frac{1}{2}$) получаем, что $P$ делит среднюю линию пополам: $MP=PL=\frac{c}{4}\text{.}$

Точки $K,L,C,M$ лежат на одной окружности, а хорды $ML$ и $CN$ этой окружности пересекаются в точке $P\text{.}$ По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд

При $c=\sqrt{3}$ отсюда $m_c=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{3}=\frac{3}{2}\text{,}$ поэтому