Задача №17748

Решите уравнение

$${\log }_2(3x-4)={\log }_4(2-x).$$

Приведём оба логарифма к основанию $4\text{.}$ Так как ${\log }_2(3x-4)=2{\log }_4(3x-4)={\log }_4((3x-4{)}^2)\text{,}$ уравнение принимает вид ${\log }_4((3x-4{)}^2)={\log }_4(2-x)\text{,}$ что приводит к алгебраическому уравнению-следствию

$$(3x-4{)}^2=2-x⟺9x^2-23x+14=0.$$

Дискриминант равен $23^2-4\cdot 9\cdot 14=25\text{,}$ поэтому корни

$$x_1=\frac{23-5}{18}=1,x_2=\frac{23+5}{18}=\frac{14}{9}.$$

Преобразование было нестрогим (избавление от логарифмов даёт следствие), поэтому корни нужно проверить по области определения, где требуется $3x-4>0$ и $2-x>0\text{,}$ то есть $\frac{4}{3}<x<2\text{.}$ Значение $x_1=1$ этому промежутку не принадлежит (при нём $3x-4=-1<0$) и является посторонним. Значение $x_2=\frac{14}{9}$ удовлетворяет обоим условиям ($3x-4=\frac{2}{3}>0\text{,}$ $2-x=\frac{4}{9}>0$), поэтому оно и есть корень.