Решите уравнение _2(3x-4)=_4(2-x).

Приведём оба логарифма к основанию 4. Так как _2(3x-4)=2_4(3x-4)=_4((3x-4)^2), уравнение принимает вид _4((3x-4)^2)=_4(2-x), что приводит к алгебраическому уравнению-следствию (3x-4)^2=2-x 9x^2-23x+14=0. Дискриминант равен 23^2-4* 9* 14=25, поэтому корни x_1=(23-5)/(18)=1, x_2=(23+5)/(18)=(14)/(9). Преобразование было нестрогим (избавление от логарифмов даёт следствие), поэтому корни нужно проверить по области определения, где требуется 3x-4>0 и 2-x>0, то есть (4)/(3)<x<2. Значение x_1=1 этому промежутку не принадлежит (при нём 3x-4=-1<0) и является посторонним. Значение x_2=(14)/(9) удовлетворяет обоим условиям (3x-4=(2)/(3)>0, 2-x=(4)/(9)>0), поэтому оно и есть корень.

x=\dfrac{14}{9}