Дан правильный тетраэдр ABCD с ребром 23. Найдите площадь сечения этого тетраэдра плоскостью, касающейся сферы, вписанной в тетраэдр, и параллельной рёбрам AB и CD.
Если ребро правильного тетраэдра равно a, то ребро описанного около него куба равно 2a. Тогда расстояние между скрещивающимися рёбрами тетраэдра равно ребру куба, то есть равно 2a, а радиус вписанной в тетраэдр сферы равен расстоянию от центра куба до грани тетраэдра, то есть равен одной шестой длины большой диагонали куба, то есть равен 61⋅2a⋅3=26a.
Пусть плоскость сечения ближе к ребру AB и пусть r — расстояние от плоскости до этого ребра. Пусть d — расстояние между рёбрами AB и CD. Тогда
Стало быть,
dr=233−1и1−dr=233+1.Поскольку AB⊥CD, сечение является прямоугольником. Из подобия треугольников получаем, что стороны равны
23⋅dr=3−1и23⋅(1−dr)=3+1.Искомая же площадь равна (3−1)(3+1)=2.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ДВИ МГУ