Дан правильный тетраэдр ABCD с ребром 2sqrt(3) . Найдите площадь сечения этого тетраэдра плоскостью, касающейся сферы, вписанной в тетраэдр, и параллельной рёбрам AB и CD .

Если ребро правильного тетраэдра равно a , то ребро описанного около него куба равно (a)/(sqrt(2)) . Тогда расстояние между скрещивающимися рёбрами тетраэдра равно ребру куба, то есть равно (a)/(sqrt(2)) , а радиус вписанной в тетраэдр сферы равен расстоянию от центра куба до грани тетраэдра, то есть равен одной шестой длины большой диагонали куба, то есть равен (1)/(6) * (a)/(sqrt(2)) * sqrt(3) = (a)/(2sqrt(6)) . Пусть плоскость сечения ближе к ребру AB и пусть r — расстояние от плоскости до этого ребра. Пусть d — расстояние между рёбрами AB и CD . Тогда d = (2sqrt(3))/(sqrt(2)) = sqrt(6) и r = (d)/(2) - (2sqrt(3))/(2sqrt(6)) = (sqrt(6))/(2) - (1)/(sqrt(2)) = (sqrt(3) - 1)/(sqrt(2)). Стало быть, (r)/(d) = (sqrt(3) - 1)/(2sqrt(3)) и 1 - (r)/(d) = (sqrt(3) + 1)/(2sqrt(3)). Поскольку AB CD , сечение является прямоугольником. Из подобия треугольников получаем, что стороны равны 2sqrt(3) * (r)/(d) = sqrt(3) - 1 и 2sqrt(3) * (1 - (r)/(d)) = sqrt(3) + 1. Искомая же площадь равна (sqrt(3) - 1)(sqrt(3) + 1) = 2 .

2